《2025年暑假作业江西教育出版社七年级合订本北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE是BC$的垂直平分线。若$AB = 4$,$AC = 3$,则$\triangle ACD$的周长为()

A. 6
B. 6.5
C. 7
D. 7.5

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$PM$,$QN分别是线段AB$,$AC$的垂直平分线。若$\angle BAC = 110^{\circ}$,则$\angle PAQ = $()

A. $40^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $70^{\circ}$

答案： A

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE是AC$的垂直平分线,且分别交$BC$,$AC于点D$,$E$。若$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle C = 25^{\circ}$,则$\angle BAD = $()

A. $60^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $80^{\circ}$
D. $70^{\circ}$

答案： D

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE是AB$的垂直平分线,连接$AD$。若$\triangle ABC$的周长为19,$\triangle ADC$的周长为13,则$BE$的长为______。

答案： $3$

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC的垂直平分线分别交AC$,$AB于点D$,$E$,连接$CE$。若$BC = 4$,$AB = 6$,则$\triangle CBE$的周长为______。

答案： $10$

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线EF分别交BC$,$AB于点E$,$F$,过点$A作AD\perp BC于点D$,且$D为线段CE$的中点。
(1)请说明：$BE = AC$。
(2)若$\angle B = 35^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数。

答案： 【解析】：
(1) 连接$AE$。
因为$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BE = AE$。
又因为$AD\perp BC$，$D$为线段$CE$的中点，即$AD$是$CE$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AE = AC$。
所以$BE = AC$。
(2) 因为$BE = AE$，$\angle B = 35^{\circ}$，根据等边对等角，所以$\angle BAE=\angle B = 35^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle AEC=\angle B+\angle BAE$，则$\angle AEC = 35^{\circ}+35^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$AE = AC$，根据等边对等角，所以$\angle C=\angle AEC = 70^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$，即$\angle BAC=180^{\circ}-35^{\circ}-70^{\circ}=75^{\circ}$。
【答案】：
(1) $BE = AC$得证。
(2) $\angle BAC = 75^{\circ}$。