《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

活动 把握圆周角的概念,探究圆周角定理
观察思考
图2-4-1中的$∠BA_{1}C,∠BA_{2}C,∠BA_{3}C$有什么共同特征？

答案： 解:顶点都在圆上,两边都和圆相交.

例1 图2-4-2中的角是圆周角的有②(填序号).

答案： ②

1. 如图2-4-3,AB为$\odot O$的直径,$∠BOC,∠BAC分别是\overset{\frown }{BC}$所对的圆心角、圆周角,则图①②③中$∠BAC$的度数分别是$45^{\circ}$,$60^{\circ}$,$(\frac{n}{2})^{\circ}$.

发现 在图2-4-3中,$∠BAC= $$\frac{1}{2}$$∠BOC$.试证明这个结论.

答案： $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $(\frac{n}{2})^{\circ}$
发现 解:$\frac{1}{2}$
证明:$\because OA = OC$,
$\therefore ∠BAC = ∠C$.
又$\because ∠BOC = ∠BAC + ∠C$,
$\therefore ∠BAC = \frac{1}{2}∠BOC$.

2. (1)观察图2-4-4,设$\overset{\frown }{BC}所对的圆周角为∠BAC$,除了圆心O在$∠BAC$的一边上外,圆心O与$∠BAC$还有哪几种位置关系？
(2)对于这几种位置关系,结论$∠BAC= \frac {1}{2}∠BOC$还成立吗？试给出证明.

答案：
解:
(1)圆心O在$∠BAC$的内部和圆心在$∠BAC$的外部.
(2)结论$∠BAC = \frac{1}{2}∠BOC$仍成立.
证明:当圆心O在$∠BAC$的内部时,如图①,连接AO并延长交$\odot O$于点D.
$\because ∠BAD = \frac{1}{2}∠BOD$,$∠CAD = \frac{1}{2}∠COD$,
$\therefore ∠BAD + ∠CAD = \frac{1}{2}(∠BOD + ∠COD)$,
即$∠BAC = \frac{1}{2}∠BOC$;
当圆心O在$∠BAC$的外部时,如图②,连接AO并延长交$\odot O$于点E.
$\because ∠BAE = \frac{1}{2}∠BOE$,$∠CAE = \frac{1}{2}∠COE$,
$\therefore ∠BAE - ∠CAE = \frac{1}{2}(∠BOE - ∠COE)$,
即$∠BAC = \frac{1}{2}∠BOC$.