《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

例3 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2= 0$有实数根.
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)= -1$,求k的值.

答案：
(1)$k\leqslant\frac{17}{4}$
(2)3

例4 公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售100个,6月份销售144个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个,经测算,当市场的售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上每个头盔的售价每上涨2元,则该月销售量将减少20个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少?

答案： 解:
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.
由题意,得$100(1+x)^{2}=144$,
解得$x_{1}=0.2=20\%,x_{2}=-2.2$(舍去).
答:该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个.
由题意得$(m-30)(600-\frac{m-40}{2}\times20)=10000$,
整理,得$m^{2}-130m+4000=0$,
解得$m_{1}=50,m_{2}=80$.
∵尽可能让顾客得到实惠,
∴$m=50$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

例5 如图1-T-1,在矩形ABCD中,AB= 8,AD= 4,点P从点A出发,沿A→D→C→B运动,速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发沿AB向点B运动,速度为每秒1个单位长度.P,Q两点同时出发,当点Q到达点B时,点P随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)当点P到达点C时,t的值为6；
(2)当PD= 3时,t的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$；
(3)当△CPQ的面积为9时,求t的值.

答案： 解:
(1)6
(2)$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$
(3)分三种情况:
①当点P在AD上运动时,$0\leqslant t＜2$,
∴$AP=2t,PD=4-2t,AQ=t,BQ=8-t$,
$S_{\triangle CPQ}=4\times8-\frac{1}{2}t\cdot2t-\frac{1}{2}(8-t)\times4-\frac{1}{2}(4-2t)\times8=-t^{2}+10t=9$,
解得$t_{1}=1,t_{2}=9$(舍去);
②当点P在DC上运动时,$2\leqslant t＜6$,
此时$PC=12-2t$,
$S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(12-2t)\times4=24-4t=9$,
解得$t=\frac{15}{4}$;
③当点P在CB上运动时,$6\leqslant t\leqslant8$,
此时$PC=2t-12,BQ=8-t$,
$S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(2t-12)(8-t)=-t^{2}+14t-48$,
∴$-t^{2}+14t-48=9$,
∴$t^{2}-14t+57=0$,此时$a=1,b=-14,c=57,b^{2}-4ac=-32＜0$,方程无实数根.
综上所述,当$\triangle CPQ$的面积为9时,t的值为1或$\frac{15}{4}$.