《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

对于一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $,如果 $ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $,那么它的两个根分别是 $ x _ { 1 } = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$ x _ { 2 } = $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
于是,$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ + $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ =$$-\frac{b}{a}$；
$ x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ \cdot $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ =$$\frac{(-b)^{2}-(\sqrt{b^{2}-4ac})^{2}}{(2a)^{2}}$$ =$$\frac{4ac}{4a^{2}}$$ =$$\frac{c}{a}$.

答案： $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $-\frac{b}{a}$
$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac{(-b)^{2}-(\sqrt{b^{2}-4ac})^{2}}{(2a)^{2}}$ $\frac{4ac}{4a^{2}}$ $\frac{c}{a}$

例 (教材典题)求下列方程两根的和与两根的积：
(1)$ x ^ { 2 } + 2 x - 5 = 0 $； (2)$ 2 x ^ { 2 } + x = 1 $.

答案： 解:
(1)设方程x²+2x−5=0的两根分别为x1,x2.
∵a=1,b=2,c=−5,
∴x1+x2=−$\frac{b}{a}$=−2,x1·x2=$\frac{c}{a}$=−5.
(2)把方程2x²+x = 1化为一般形式，得2x²+x−1=0.
设它的两根分别为x1,x2.
∵a=2,b=1,c=−1,
∴x1+x2=−$\frac{b}{a}$=−$\frac{1}{2}$,x1·x2=$\frac{c}{a}$=−$\frac{1}{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　

变式 1 设一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $ 的两个根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } - x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 2 } $ 的值为 (D)
A. 1
B. -1
C. 0
D. 3

答案： 变式1 D

变式 2 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + k = 0 $ 的一个根为 2,求方程的另一个根及 $ k $ 的值.

答案： 变式2　方程的另一个根为4,k的值为8

一元二次方程的两根是$2+\sqrt 3和2-\sqrt 3$,你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？

答案： 解:一次项系数是−4,常数项为1.

|总结|

$ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 , b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 ) $ → $ a , b , c $ 与方程根之间的关系 → 两根之和= ____,两根之积=

答案： $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$

|反思|
若方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0 $ 的两个根是 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,求下列代数式的值.
(1)$ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } $； (2)$ ( x _ { 1 } + 2 ) ( x _ { 2 } + 2 ) $；
(3)$ | x _ { 1 } - x _ { 2 } | $.

答案：
(1)4
(2)13
(3)2$\sqrt{3}$