《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
操作尝试
在透明纸上画$\odot O$,弦$CD$。
(1)过圆心$O作OP\perp CD于点P$；
(2)向两端延长$OP$,分别交$\odot O于点A$,$B$(如图2-2-7①)；
(3)将$\odot O沿直线AB$折叠(如图②)。

猜想证明
如图2-2-7①中有哪些相等的线段、相等的弧？
证实 如图2-2-8,$AB是\odot O$的直径,$CD是\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为$P$。求证：$PC= PD$,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$。

答案： 解：$OA=OB$，$PC=PD$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{ACB}=\overset{\frown}{ADB}$。
证明：连接$OC$，$OD$。在$\triangle OCD$中，
$\because OC=OD$，$OP\perp CD$，
$\therefore PC=PD$，$\angle BOC=\angle BOD$（等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合）。
$\therefore \angle AOC=\angle AOD$。
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。