《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

例1(教材典题)用一根长22cm的铁丝：
(1)能否围成面积是$30cm^2$的矩形？
(2)能否围成面积是$32cm^2$的矩形？

答案： 解:设这根铁丝围成的矩形的长为x cm,则宽为(11 - x) cm.
(1)根据题意,得x·(11 - x) = 30,
整理得x² - 11x + 30 = 0,解得x₁ = 5, x₂ = 6.
当x = 5时, 11 - x = 6 (不合题意,舍去);
当x = 6时, 11 - x = 5.
答:用一根长22 cm的铁丝能围成面积是30 cm²的矩形,此时长和宽分别为6 cm, 5 cm.
(2)根据题意,得x·(11 - x) = 32,
整理得x² - 11x + 32 = 0.
∵b² - 4ac = (- 11)² - 4×1×32 = - 7 ＜ 0,
∴原方程无解.
答:用一根长22 cm的铁丝不能围成面积是32 cm²的矩形.

变式 将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$17cm^2,$那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和能等于$10cm^2$吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.

答案： 解:
(1)设剪后其中一段铁丝长为x cm,则另一段铁丝长为(20 - x) cm.
依题意,得$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2 = 17$,
整理,得x² - 20x + 64 = 0,
解得x₁ = 16, x₂ = 4.
当x = 16时, 20 - x = 4;当x = 4时, 20 - x = 16.
故这根铁丝剪成两段后的长度分别为4 cm和16 cm.
(2)不能.理由如下:
设剪后其中一段铁丝长为y cm,则另一段铁丝长为(20 - y) cm.
依题意,得$(\frac{y}{4})^2 + (\frac{20 - y}{4})^2 = 10$,
整理,得y² - 20y + 120 = 0.
∵b² - 4ac = (- 20)² - 4×1×120 = - 80 ＜ 0,
∴此方程无解.
故不能剪成两段,使得两个正方形的面积之和等于10 cm².