《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

例2 (教材典题)如图2-1-3,线段$PQ= 2cm$。
(1)画出下列图形：
到点P的距离等于1cm的点的集合；
到点Q的距离等于1.5cm的点的集合。
(2)在所画图中,到点P的距离等于1cm,且到点Q的距离等于1.5cm的点有几个？在图中将它们表示出来。
(3)在所画图中,到点P的距离小于或等于1cm,且到点Q的距离大于或等于1.5cm的点的集合是怎样的图形？在图中将它表示出来。

答案： 【解析】：
(1)根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
所以到点$P$的距离等于$1cm$的点的集合是以点$P$为圆心，$1cm$为半径的圆；到点$Q$的距离等于$1.5cm$的点的集合是以点$Q$为圆心，$1.5cm$为半径的圆。
(2)求到点$P$的距离等于$1cm$，且到点$Q$的距离等于$1.5cm$的点的个数，就是求两圆的交点个数。
两圆的圆心距$d = PQ=2cm$，$r_1 = 1cm$，$r_2 = 1.5cm$，$\vert r_1 - r_2\vert=\vert1 - 1.5\vert = 0.5cm$，$r_1 + r_2=1 + 1.5 = 2.5cm$，因为$\vert r_1 - r_2\vert\lt d\lt r_1 + r_2$，所以两圆相交，交点个数为$2$个。
(3)到点$P$的距离小于或等于$1cm$的点的集合是以$P$为圆心，$1cm$为半径的圆及圆的内部；到点$Q$的距离大于或等于$1.5cm$的点的集合是以$Q$为圆心，$1.5cm$为半径的圆及圆的外部。
那么到点$P$的距离小于或等于$1cm$，且到点$Q$的距离大于或等于$1.5cm$的点的集合是$\odot P$的内部与$\odot Q$的外部的公共部分（包括$\odot P$上的点，不包括$\odot Q$上的点）。
【答案】：
(1)以$P$为圆心，$1cm$为半径画圆；以$Q$为圆心，$1.5cm$为半径画圆。
(2)$2$个。
(3)是$\odot P$的内部与$\odot Q$的外部的公共部分（包括$\odot P$上的点，不包括$\odot Q$上的点）。

例3 如图2-1-4,已知矩形ABCD的边$AB= 3cm$,$AD= 4cm$。
(1)若以点A为圆心,3cm为半径作$\odot A$,则点B,C,D与$\odot A$的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心,4cm为半径作$\odot A$,则点B,C,D与$\odot A$的位置关系如何？

(3)若以点A为圆心,5cm为半径作$\odot A$,则点B,C,D与$\odot A$的位置关系如何？

答案： 解:
(1)点 B 在$\odot A$上,点 C,D 在$\odot A$外.
(2)点 B 在$\odot A$内,点 D 在$\odot A$上,点 C 在$\odot A$外.
(3)点 B,D 在$\odot A$内,点 C 在$\odot A$上.