《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的__________与________的比叫做∠A的余弦，记作__________；锐角∠A的__________与__________的比叫做∠A的正切，记作__________。
2. ∠A的__________、__________、__________都是∠A的锐角三角函数。

答案： 1.邻边，斜边，cosA,对边，邻边，tanA.2.正弦、余弦、正切

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为( )
A. 3
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： A [解析]
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 1,BC = 3,
∴∠A的正切值为$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{1}=3$,故选A.

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为( )
A. $\frac{\sqrt{15}}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
D. $\frac{4\sqrt{17}}{17}$

答案： A [解析]
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 4,AC = 1,
∴BC = $\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$,则cosB = $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{15}}{4}$,故选A.

3. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是( )


A. sinα=cosα
B. tanC=2
C. sinβ=cosβ
D. tanα=1

答案： C [解析]观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形,BD = AD = 2,AB = 2$\sqrt{2}$,AD = 2,CD = 1,AC = $\sqrt{5}$,
∴sinα = cosα = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,故A正确,tanC = $\frac{AD}{CD}$ = 2,故B正确,tanα = 1,故D正确,
∵sinβ = $\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,cosβ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴sinβ≠cosβ,故C错误.故选C.

4. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，则∠A的正切值为( )

A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{3}{4}$

答案：
D [解析]
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,sinA = $\frac{3}{5}=\frac{BC}{AB}$,
∴设BC = 3x,AB = 5x,由勾股定理 得:AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$ = 4x,
∴tanA = $\frac{BC}{AC}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$,即∠A的正切值为$\frac{3}{4}$故选D.

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{12}{5}$，则tanB的值为( )
A. $\frac{5}{13}$
B. $\frac{12}{13}$
C. $\frac{12}{5}$
D. $\frac{5}{12}$

答案： D [解析]
∵∠C = 90°,
∴∠A + ∠B = 90°,
∴tanA·tanB = 1,
∴tanB = $\frac{1}{tanA}=\frac{5}{12}$,故选D.

6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=$\frac{2}{3}$，则BC：AC：AB=___________。

答案： 6. $\sqrt{5}$:2:3 [解析]在Rt△ABC中,∠C = 90°,
∵cosA = $\frac{2}{3}=\frac{AC}{AB}$,设AC = 2x,则AB = 3x,
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5}x$,
∴BC:AC:AB = $\sqrt{5}$:2:3.

7. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8。若∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，则tan∠BPC=________。

答案：
7. $\frac{4}{3}$ [解析]如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∵AB = AC = 5,
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4,∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC,
∵∠BPC = $\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠BPC = ∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE = $\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3,
∴tan∠BPC = tan∠BAE = $\frac{BE}{AE}=\frac{4}{3}$.故答案为$\frac{4}{3}$