《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的面积为10，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与$AB$，$BC$分别交于点$D$，$E$，若$AD = 2BD$，则$k$的值为 （ ）
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{10}{3}$
C. $\frac{20}{3}$
D. $\frac{5}{2}$

答案： C【解析】设OA = a，因为矩形OABC的面积为10，所以AB = $\frac{10}{a}$，
∵AD = 2BD，
∴AD = $\frac{2}{3}$AB = $\frac{20}{3a}$，将点D($\frac{20}{3a}$,a)代入反比例函数解析式得k = $\frac{20}{3}$。故选C。

5. 为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，他完成3间办公室和2间教室的药物喷洒需要19 min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒需要11 min.
(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需要多长时间？
(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度$y$(单位：$mg/m^{3}$)与时间$x$(单位：min)的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时$y$关于$x$的函数解析式为$y = 2x$，药物喷洒完成后$y$与$x$成反比例函数关系，两个函数图象的交点为$A(m,n)$. 当教室空气中的药物浓度不高于1 $mg/m^{3}$时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班共11间教室进行药物喷洒消毒，当他把最后一间教室进行药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明.

答案： 解：
(1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min和y min，则$\begin{cases}3x + 2y = 19\\2x + y = 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}$。故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3 min和5 min。
(2)一间教室的药物喷洒时间为5 min，则11间教室需要55 min，当x = 5时，y = 2x = 10，故点A(5,10)，设反比例函数解析式为y = $\frac{k}{x}$，将点A的坐标代入上式，解得k = 50，故反比例函数解析式为y = $\frac{50}{x}$，当x = 55时，y = $\frac{50}{55}$ ＜ 1，故一班学生能进入教室。

6. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y = x + 1$的图象与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，若点$P$是第一象限内反比例函数图象上一点，且$\triangle ABP$的面积是$\triangle AOB$的面积的2倍，则点$P$的横坐标为________.

答案：
2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$【解析】如图，当点P在AB下方时作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，直线AB与x轴交点的坐标为(-1,0)，则直线l与x轴交点C为(1,0)，

设直线l的解析式为y = x + b，将点C的坐标代入上式，解得b = -1，故直线l的解析式为y = x - 1，①而反比例函数的解析式为y = $\frac{2}{x}$，②联立①②并解得x = 2或x = -1(舍去)；当点P在AB上方时，同理可得，直线l的函数解析式为y = x + 3，③联立②③并解得x = $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$(负值舍去)；故答案为2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$。

7. 已知反比例函数$y=\frac{1 - k}{x}$的图象经过点$A(2,-4)$.
(1)求$k$的值.
(2)若点$B(m,-6)$在这个反比例函数的图象上，则$m =$________.
(3)点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$均在反比例函数$y=\frac{1 - k}{x}$的图象上，若$x_{1}＜x_{2}$，比较$y_{1}$，$y_{2}$的大小关系.

答案： 解：
(1)依题意得1 - k = 2×(-4) = -8，所以k = 9；
(2)
∵点B(m,-6)在这个反比例函数的图象上，
∴ - 6m = -8，
∴m = $\frac{4}{3}$。故答案为$\frac{4}{3}$；
(3)当0 ＜ x₁ ＜ x₂或x₁ ＜ x₂ ＜ 0时，y₁ ＜ y₂；当x₁ ＜ 0 ＜ x₂时，y₂ ＜ y₁。