《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

4.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示.在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度.
　　

答案： 解:设BC为x米，则AC = (20 + x)米，
　由条件知：∠DBC = ∠AEC = 60°，DE = 80米.
　在Rt△DBC中，tan60° = $\frac{DC}{BC}=\frac{DC}{x}$，
　则DC = $\sqrt{3}x$米.
∴CE = ($\sqrt{3}x - 80$)米.
　在Rt△ACE中，tan60° = $\frac{AC}{CE}=\frac{20 + x}{\sqrt{3}x - 80}=\sqrt{3}$.
　解得x = 10 + 40$\sqrt{3}$.
　答:小山BC的高度为(10 + 40$\sqrt{3}$)米.

5.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO = 26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO = 49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？(结果精确到0.1km)
　　（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:设B处距离码头O有x km，
　　　　　　　　　　　　
　在Rt△CAO中，∠CAO = 26.5°，
∵tan∠CAO = $\frac{CO}{OA}$，
∴CO = AO·tan∠CAO = (28×0.2 + x)·tan26.5°≈2.8 + 0.5x.
　在Rt△DBO中，∠DBO = 49°，
∵tan∠DBO = $\frac{DO}{BO}$，
∴DO = BO·tan∠DBO = x·tan49°≈1.15x，
∵DC = DO - CO，
∴6.4 = 1.15x - (2.8 + 0.5x)，
∴x = 14.2.
　因此，B处距离码头O大约14.2 km.

6.如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长.(结果精确到0.1m，$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$)
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示.
　　　
　则DF = GA，DC = GH = 2，AF = DG = CH，
　由题意得∠EDF = 30°，
∴EF = $\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×4 = 2$，DF = $\sqrt{3}EF = 2\sqrt{3}$，
∵AE = 5，
∴CH = AF = AE - EF = 5 - 2 = 3.
∵斜面BC的坡度为$\frac{CH}{BH}=\frac{1}{4}$，
∴BH = 4CH = 12，
∴AB = AG + GH + BH = 2$\sqrt{3}$+2 + 12 = 2$\sqrt{3}$+14≈17.5(m)，
　答:处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5 m.