《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

7. 如图，在等腰三角形ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E. 求证：△ACD∽△BCE.
　　　

答案： 证明:
∵AD是等腰三角形ABC的顶角∠BAC 的角平分线，
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵BE是腰AC边上的高，
∴∠BEC=90°.
∵∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠BEC,
∴△ACD∽△BCE.

8. 如图，AB=AC，∠DAE=∠B，求证：△ABE∽△DCA.
　　　　

答案： 证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C;
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠CDA=∠BAD +∠B,∠DAE=∠B,
∴∠BAE=∠CDA,
∴△ABE∽△DCA.

9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点P或点Q到达终点时停止运动. 则当运动几秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与三角形ABC相似？
　　　

答案： 解:设经过t s，△PBQ与△ABC相似,则AP=t cm,BP=(6 - t) cm,BQ=2t cm,①若△PBQ∽△ABC,则$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{6 - t}{6}=\frac{2t}{8}$，
∴t=$\frac{12}{5}$.②若△PBQ∽△CBA,则$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{6 - t}{8}=\frac{2t}{6}$，
∴t=$\frac{18}{11}$.
∴经过$\frac{12}{5}$s或$\frac{18}{11}$s时,△PBQ与△ABC相似.