《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

6. 如图，一直线经过原点$O$，且与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$相交于点$A$，$B$，过点$A$作$AC\perp y$轴，垂足为$C$，连接$BC$。若$\triangle ABC$的面积为8，则$k =$______。

答案： 8 【解析】由题意可得A，B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4.
又
∵A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=4.
∵k＞0，
∴k=8.
故答案为8.

7. 如图，正比例函数$y = -x$与反比例函数$y = -\frac{6}{x}$的图象交于$A$，$C$两点，过点$A$作$AB\perp x$轴于点$B$，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，则$\triangle ABD$的面积为______。

答案： 6 【解析】正比例函数y=−x与反比例函数y=−$\frac{6}{x}$的图象的交点为A(−$\sqrt{6}$,$\sqrt{6}$)，C($\sqrt{6}$,-$\sqrt{6}$)，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴OB=AB=OD=CD=$\sqrt{6}$，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$BD⋅AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$=6.
故答案为6.

8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = x + 1$的图象与$x$轴，$y$轴的交点分别为点$A$，$B$，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于$C$，$D$两点，$CE\perp x$轴于点$E$，连接$DE$，$AC = 3\sqrt{2}$。
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle CDE$的面积。

答案： 解：
(1)在y=x+1中，令y=0，则x=−1，
∴A(−1,0)，
令x=0，则y=1，
∴B(0,1)，
∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE.
∵AC=3$\sqrt{2}$，即AE²+CE²=(3$\sqrt{2}$)²，
则AE=CE=3，
∴OE=2，CE=3，
∴C(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$.
(2)联立$\begin{cases}y = x + 1 \\ y = \frac{6}{x} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$，
∴点D的坐标为(−3,−2)，
∴S△CDE=$\frac{1}{2}$×3×[2−(−3)]=$\frac{15}{2}$.

9. 如图，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象相交于$A(-3,n)$，$B(-1,-3)$两点，与$x$轴交于点$P$，过点$A$作$AC\perp OP$于点$C$。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求四边形$ABOC$的面积。

答案：
解：
(1)由点B(−1,−3)在y=$\frac{m}{x}$的图象上得m=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$.
由点A(−3,n)在y=$\frac{3}{x}$的图象上得n=−1，
∴A(−3,−1).
由点A(−3,−1)，B(−1,−3)在一次函数y=kx+b的图象上得
$\begin{cases}-3k + b = -1 \\ -k + b = -3 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k = -1 \\ b = -4 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为y=−x−4.
(2)如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM=1，BM=3，AC=1，MC=OC−OM=3−1=2，
∴S四边形ABOC=S△BOM+S梯形ACMB=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×(1+3)×2=$\frac{11}{2}$.