《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

5. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是__________n mile.（结果保留一位小数，$\sqrt{3}$≈1.73）

答案：
20.8 [解析]如图，过P作PD⊥AB于D。
∵∠PAB = 30°，∠PBD = 60°，
∴∠PAB = ∠APB，
∴BP = AB = 24nmile。在Rt△PBD中，PD = BP·sin∠PBD = 24×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 12$\sqrt{3}$≈20.8(nmile)。即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile。故答案为20.8。

6. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图. 自动扶梯AB的坡度i = 1∶$\sqrt{3}$，则坡角α为_______度.

答案： 30 [解析]
∵自动扶梯AB的坡度i = 1:$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$在Rt△ABC中，tanα = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α = 30°，故答案为30。

7. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造. 如图②所示，改造前的斜坡AB = 200米，坡度为1∶$\sqrt{3}$；将斜坡AB的高度AE降低AC = 20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4. 求斜坡CD的长.（结果保留根号）

答案： 解:
∵∠AEB = 90°，AB = 200，坡度为1:$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABE = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABE = 30°，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 100。
∵AC = 20，
∴CE = 80。
∵∠CED = 90°，斜坡CD的坡度为1:4，
∴$\frac{CE}{DE}$ = $\frac{1}{4}$，即$\frac{80}{ED}$ = $\frac{1}{4}$，解得ED = 320，
∴CD = $\sqrt{80^{2}+320^{2}}$ = 80$\sqrt{17}$答:斜坡CD的长是80$\sqrt{17}$米。

8. 如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼. 一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1) 求渔船B航行的距离；
(2) 此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域. 请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.（注：结果保留根号）

答案：
解:
(1)由题意得，∠CAB = 30°，∠ACB = 90°，BC = 20，
∴AB = 2BC = 40海里。答:渔船B航行的距离是40海里；
(2)如图，过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G， 则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，
∴BE = GH = AC = 20$\sqrt{3}$，AE = BC = 20，设BG = EH = x海里，
∴AH = x + 20，由题意得，∠BDG = 60°，∠ADH = 45°，
∴DG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x，DH = AH，
∴20$\sqrt{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x = x + 20，解得x = 20$\sqrt{3}$，
∴BG = 20$\sqrt{3}$，AH = 20 + 20$\sqrt{3}$，
∴BD = $\frac{BG}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 40，AD = $\sqrt{2}$AH = 20$\sqrt{2}$ + 20$\sqrt{6}$答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是(20$\sqrt{2}$ + 20$\sqrt{6}$)海里。