《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

5. 如图所示，在四边形$ABCD$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$CD = 8$. 连接$AC$，$AC\perp CD$，若$\sin\angle ACB=\frac{1}{3}$，则$AD$长度是________.
　　　　　

答案： 10　[解析]在Rt△ABC中,
∵AB = 2,sin∠ACB = $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$,
∴AC = 2÷$\frac{1}{3}=6$.在Rt△ADC中,AD = $\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.故答案为10.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{1}{3}$，$\tan C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AB = 3$，则$AC$的长为________.
　　　　　

答案：
$\sqrt{3}$[解析]如图，过A作AD⊥BC,在Rt△ABD中,sinB = $\frac{1}{3}$,
　　　　　　　　　　
AB = 3,
∴AD = AB·sinB = 1.在Rt△ACD中,tanC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,即CD = $\sqrt{2}$,根据勾股定理得:AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1 + 2}=\sqrt{3}$,故答案为$\sqrt{3}$.

7. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据下列条件解直角三角形.（可以使用计算器）
　(1) $c = 8$，$\angle A = 30^{\circ}$；
　(2) $a = 5$，$b = 12$.

答案： 解:
(1)
∵∠C = 90°,∠A = 30°,
∴a = $\frac{1}{2}c = 4$,∠B = 60°,
∴b = $\sqrt{3}a = 4\sqrt{3}$.
(2)
∵∠C = 90°,a = 5,b = 12,
∴c = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$,
∴tanA = $\frac{a}{b}=\frac{5}{12}$,
∴∠A ≈ 22.6°,
∴∠B = 90° - 22.6° = 67.4°.

8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan A=\frac{3}{4}$，$BC = 9$，求$AC$、$AB$的长.

答案： 解:在Rt△ABC中,
∵tanA = $\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$,BC = 9,
∴AC = 12,
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15$,
∴AC,AB的长分别为12,15.

9. 某游乐场部分平面图如图所示，$C$、$E$、$A$在同一直线上，$D$、$E$、$B$在同一直线上，测得$A$处与$E$处的距离为 80 米，$C$处与$D$处的距离为 34 米，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，$\angle BAE = 30^{\circ}$.（$\sqrt{2}\approx1.4$，$\sqrt{3}\approx1.7$）
　(1) 求旋转木马$E$处与出口$B$处的距离；
　(2) 求海洋球$D$处与出口$B$处的距离（结果保留整数）.
　　　　　

答案： 解:
(1)
∵在Rt△ABE中,∠BAE = 30°,
∴BE = $\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×80 = 40$(米);
(2)
∵在Rt△ABE中,∠BAE = 30°,
∴∠AEB = 90° - 30° = 60°,
∴∠CED = ∠AEB = 60°,
∴在Rt△CDE中，DE = $\frac{CD}{sin\angle CED}=\frac{34}{\sin60^{\circ}}\approx\frac{34}{0.866}\approx40$(米)，则BD = DE + BE = 40 + 40 = 80(米).