《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

1.如图，在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站，A在B的正西方向，AB = 2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:如图，过点C作CD⊥AB于点D，
　　　　　
　则∠CAD = ∠ACD = 45°，
∴AD = CD，
　设AD = x，则AC = $\sqrt{2}x$，
∴BD = AB - AD = 2 - x，
∵∠CBD = 60°，在Rt△BCD中，
　tan∠CBD = $\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{x}{2 - x}=\sqrt{3}$，解得x = 3 - $\sqrt{3}$.
　经检验，x = 3 - $\sqrt{3}$是原方程的根.
∴AC = $\sqrt{2}x=\sqrt{2}(3 - \sqrt{3})=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$km.
　答:船C离观测站A的距离为(3$\sqrt{2}-\sqrt{6}$)km.

2.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A,B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
　　　　　　　　　　　　
　由题意得，∠MCA = ∠A = 60°，∠NCB = ∠B = 45°，CD = 120(米)，
　在Rt△ACD中，AD = $\frac{CD}{tan60^{\circ}}=\frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}$(米)，
　在Rt△BCD中，
∵∠CBD = 45°，
∴BD = CD = 120(米)，
∴AB = AD + BD = (40$\sqrt{3}$+120)米.
　答:桥AB的长度为(40$\sqrt{3}$+120)米.

3.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景.在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
　　

答案：
解:设无人机距地面x m，直线AB与南天一柱所在直线相交于点D，由题意得∠CAD = 37°，∠CBD = 45°.
　　　　　
　在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD = $\frac{CD}{AD}=\frac{x}{AD}=0.75$，
∴AD = $\frac{4}{3}x$.
　在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD = $\frac{CD}{BD}=\frac{x}{BD}=1$，
∴BD = x.
∵AD - BD = AB，
∴$\frac{4}{3}x - x = 9×6$，
∴x = 162，
∵162＞150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全.