《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

7. 如图，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点.
（1）求证：△DEF∽△ABC；
（2）图中还有哪几个三角形与△ABC相似？

答案：
(1)证明:
∵D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点,
∴DF = $\frac{1}{2}$AC,EF = $\frac{1}{2}$BC,DE = $\frac{1}{2}$AB,
则$\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{CB}=\frac{ED}{AB}$,
∴△DEF∽△ABC.
(2)解:
∵E,F分别是△ABC的边AC,AB的中点,
∴EF//BC,
∴△AFE∽△ABC.
同理,△EDC∽△ABC,△FBD∽△ABC,
∴图中还有3个三角形与△ABC相似,分别是△AFE,△FBD,△EDC.

8. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD² = BC·BE. 证明：△BCD∽△BDE.

答案： 证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBE = ∠CBD.
∵$BD^{2}=BC\cdot BE$,
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BD}{BE}$,
∴△BCD∽△BDE.

9. 如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点. 求证：△DEF∽△ABC.

答案： 证明:
∵AD是△ABC的高,E,F分别是AB,AC的中点,
∴DE = $\frac{1}{2}$AB,DF = $\frac{1}{2}$AC,EF是△ABC的中位线,
∴EF = $\frac{1}{2}$BC,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△DEF∽△ABC.