《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

1. 如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB = 3，AD = 2，CE = 1. 求DF的长度.
　　

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC = AB = 3,∠ADC = ∠C = 90°.
∵CE = 1,
∴DE = $\sqrt{DC^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
∵AF⊥DE,
∴∠AFD = 90° = ∠C
∴∠ADF + ∠DAF = 90°.
又
∵∠ADF + ∠EDC = 90°,
∴∠EDC = ∠DAF,
∴△EDC∽△DAF,
∴$\frac{DE}{AD}$ = $\frac{CE}{FD}$,即$\frac{\sqrt{10}}{5}$ = $\frac{1}{FD}$,
∴FD = $\frac{\sqrt{10}}{5}$,即DF的长度为$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

2. 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PE⊥EC.
　(1)求证：△AEP∽△DEC；
　(2)若AB = 3，BC = 5，求AP的长.
　　

答案：
(1)证明:
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED = ∠PEC = 90°,
∴∠AEP = ∠DEC.
∵∠EAD + ∠ADE = 90°,∠ADE + ∠CDE = 90°,
∴∠EAP = ∠EDC,
∴△AEP∽△DEC.
(2)解:在Rt△ADE和Rt△BAE中,∠AEB = ∠AED = 90°,
又
∵∠DAE + ∠BAE = 90°,∠DAE + ∠ADE = 90°,
∴∠BAE = ∠ADE,
∴△AEB∽△DEA,
∴$\frac{AE}{DE}$ = $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{3}{5}$,
由
(2)知△AEP∽△DEC,
∴$\frac{AE}{DE}$ = $\frac{AP}{CD}$ = $\frac{3}{5}$,即$\frac{AP}{3}$ = $\frac{3}{5}$,
∴AP = $\frac{9}{5}$.

3. 如图，在△ABC中，AB = AC，AB² = BD·BC. 求证：∠B = ∠BAD.
　

答案： 证明:
∵AB² = BD·BC,
∴$\frac{AB}{CB}$ = $\frac{BD}{BA}$.
∵∠B = ∠B,
∴△BAD∽△BCA,
∴∠BAD = ∠C.
∵AB = AC,
∴∠B = ∠C,
∴∠B = ∠BAD.

4. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE = FD，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G.
　(1)求证：△AFD∽△GAD；
　(2)如果DF² = CF·CD，求证：BE = CH.
　　

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB = AD,∠B = ∠D.
又
∵BE = DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE = ∠DAF.
又
∵AB//CD,
∴∠G = ∠BAE = ∠DAF.
又
∵∠D = ∠D,
∴△AFD∽△GAD.
(2)
∵DF² = CF·CD,
∴$\frac{CF}{DF}$ = $\frac{DF}{CD}$.
又
∵AD//BH,
∴$\frac{CF}{DF}$ = $\frac{CH}{AD}$,
∴$\frac{CH}{AD}$ = $\frac{DF}{CD}$.
又
∵AD = CD,
∴CH = DF.
又
∵△ABE≌△ADF,
∴BE = DF,
∴BE = CH.