《2025年学考A加同步课时练九年级数学下册人教版》

5. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD² = AD·BD.
　(1)求∠ACB的度数；
　(2)若AC = 4，AB = 10，求AD的长.
　　　

答案： 解:
(1)
∵CD是AB边上的高,
∴∠ADC = ∠BDC = 90°.
∵CD² = AD·BD,
∴$\frac{CD}{AD}$ = $\frac{BD}{CD}$.
∴△ADC∽△CDB,
∴∠A = ∠BCD.
又
∵∠A + ∠ACD = 90°,
∴∠ACD + ∠BCD = 90°,
∴∠ACB = 90°.
(2)
∵∠ACB = ∠ADC = 90°,∠A = ∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AC}{AB}$.
又
∵AC = 4,AB = 10,
∴$\frac{AD}{4}$ = $\frac{4}{10}$,
∴AD = 1.6.

6. 如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是$\overset{\frown}{AE}$上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE = ∠BDE，BD与AE交于点F.
　(1)求证：BC是⊙O的切线；
　(2)若BD平分∠ABE，求证：AD² = DF·DB.
　　　

答案： 证明:
(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB = 90°,
∴∠EAB + ∠EBA = 90°.
∵∠CBE = ∠BDE,∠BDE = ∠EAB,
∴∠EAB = ∠CBE,
∴∠EBA + ∠CBE = 90°,即∠ABC = 90°,
∴CB⊥AB.
∵AB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线.
(2)
∵BD平分∠ABE,
∴∠ABD = ∠DBE;
∵∠DAF = ∠DBE,
∴∠DAF = ∠ABD.
∴△ADF∽△BDA,
∴$\frac{AD}{BD}$ = $\frac{DF}{AD}$,
∴AD² = BD·DF.

7. 如图，在平行四边形ABCD的边AD的延长线上截取DE = AD，F是AE延长线上的一点，连接BD，CE，BF分别交CE，CD于点G，H.
　求证：(1)△ABD≌△DCE；
　(2)CE : CG = DF : AD.
　　

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD = BC,AD//BC,CD = AB.
又
∵DE = AD,
∴DE = BC,
∴四边形DECB是平行四边形,
∴CE = DB,
∴△ABD≌△DCE(SSS);
(2)
∵四边形DECB是平行四边形,
∴∠EDB = ∠ECB,DE//BC,
∴∠F = ∠GBC,
∴△DBF∽△CGB,
∴$\frac{DF}{BC}$ = $\frac{BD}{GC}$.
又
∵CE = BD,AD = BC,
∴$\frac{DF}{AD}$ = $\frac{CE}{CG}$,
即CE:CG = DF:AD.

8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED = ∠B，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD : AC = DF : CG. 求证：
　(1)AG平分∠BAC；
　(2)EF·CG = DF·BG.
　　　　

答案： 证明:
(1)
∵∠DAE + ∠AED + ∠ADE = 180°,∠BAC + ∠B + ∠C = 180°,∠AED = ∠B,
∴∠ADE = ∠C.
又
∵AD:AC = DF:CG,
∴△ADF∽△ACG,
∴∠DAF = ∠CAG,
∴AG平分∠BAC.
(2)在△AEF和△ABG中,
∠AED = ∠B,∠EAF = ∠BAG,
∴△AEF∽△ABG,
∴$\frac{EF}{BG}$ = $\frac{AF}{AG}$.
由
(1)知△ADF∽△ACG,
∴$\frac{DF}{CG}$ = $\frac{AF}{AG}$,
∴$\frac{EF}{BG}$ = $\frac{DF}{CG}$,
∴EF·CG = DF·BG.