《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

23. 观察下列各式及证明过程：
①$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
②$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
③$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$。
验证：$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{2\times3}}=\sqrt{\frac{2}{2^{2}\times3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\sqrt{\frac{1}{2\times3\times4}}=\sqrt{\frac{3}{2\times3^{2}\times4}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\sqrt{\frac{1}{3\times4\times5}}=\sqrt{\frac{4}{3\times4^{2}\times5}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$。
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}$的变形结果，并进行验证；(7分)
(2)针对上述各式反映的规律，写出用$n$($n$为自然数，且$n\geqslant1$)表示的等式，并验证。(7分)

答案：
(1)解：$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\sqrt{\frac{1}{4\times5\times6}}=\sqrt{\frac{5}{4\times5^{2}\times6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}=\frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}(n\geqslant1)$。验证：$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}=\sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}}=\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 1)^{2}(n + 2)}}=\frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$。