《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

七（本题满分12分）
22. 如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE = 2DE，过点A作AF//BE交DE延长线于点F.
（1）求证：四边形ABEF为菱形；（6分）
（2）若∠ABE = 45°，AB = 4，求四边形ABDF的面积.（6分）

答案：

(1)证明：
∵点D，E分别为BC，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，AB = 2DE.
∵EF//AB，AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BE = 2DE，
∴AB = BE，
∴四边形ABEF为菱形.
(2)解：如图 过E作EG⊥AB于G，由
(1)可知，DE//AB，AB = 2DE，四边形ABEF为菱形，又
∵AB = 4，
∴DE = 2，BE = EF = AB = 4，
∴DF = DE + EF = 6. 在Rt△EBG中，∠ABE = 45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG = √2/2BE = 2√2，
∴S四边形ABDF = 1/2(AB + DF)·EG = 1/2×(4 + 6)×2√2 = 10√2.

八（本题满分14分）
23.【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB = BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.（4分）
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE = EF. 用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.（5分）
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE = EF. 请直接用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系.（5分）

答案：

(1)解：DE + CD = AE，理由如下：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC = ∠D = ∠AEB = 90°，
∴∠ABE + ∠CBD = ∠C + ∠CBD = 90°，
∴∠ABE = ∠C.
∵AB = BC，
∴△ABE≌△BCD(AAS)，
∴BE = CD，AE = BD，
∴DE = BD - BE = AE - CD，
∴DE + CD = AE.
(2)AD = √2BE + DF，理由如下：过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB = ∠CDB = 45°，BD平分∠ADC，∠ADC = 90°，
∴√2AD = √2CD = BD，
∴DE = BD - BE = √2AD - BE.
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM = EN.
∵AE = EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL)，
∴AM = NF.
∵EM = EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC = 90°，
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN对角线，MD = ND，
∴MD = ND = √2/2DE，NF = ND - DF = MD - DF，
∴NF = AM = AD - MD = AD - √2/2DE，NF = √2/2DE - DF，
∴AD - √2/2DE = √2/2DE - DF，
∴AD = √2DE - DF.
∵DE = √2AD - BE，
∴AD = √2(√2AD - BE) - DF，
∴AD = √2BE + DF.
(3)AD = √2BE - DF.