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六(本题满分12分)
21. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积. 你求出的面积为______$m^{2}$;(5分)
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图),你能帮助他们求出面积吗? (7分)
21. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积. 你求出的面积为______$m^{2}$;(5分)
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图),你能帮助他们求出面积吗? (7分)
答案：
(1)30
(2)解：过点 A 作$AH\perp BC$于 H，设$BH = x$，则$CH = 14 - x$，在$Rt\triangle BHA$中，$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=15^{2}-x^{2}$，在$Rt\triangle AHC$中，$AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，$\therefore 15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，解得$x = 9$，$\therefore AH=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$，$\therefore \triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\times14\times12 = 84(m^{2})$。答：$\triangle ABC$的面积是$84m^{2}$。
(1)30
(2)解：过点 A 作$AH\perp BC$于 H，设$BH = x$，则$CH = 14 - x$，在$Rt\triangle BHA$中，$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=15^{2}-x^{2}$，在$Rt\triangle AHC$中，$AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，$\therefore 15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，解得$x = 9$，$\therefore AH=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$，$\therefore \triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\times14\times12 = 84(m^{2})$。答：$\triangle ABC$的面积是$84m^{2}$。
七(本题满分12分)
22. 现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片,三边长分别是a、b、c. 用其中4张纸片拼成如图2的大正方形(空白部分是边长分别为a和b的正方形);用另外4张纸片拼成如图3的大正方形(中间的空白部分是边长为c的正方形).
(1)观察:从整体看,图2和图3的大正方形的边长都为$(a + b)$,所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为$(a + b)^{2}$,记为结论①. 由于整个图形的面积等于各部分面积的和,所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为:________________,记为结论②; (2分)
同样,图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为:__________,记为结论③. (2分)
(2)思考:
由结论①和结论②,可以得到等式________________________; (2分)
由结论②和结论③,可以得到等式________________________. (2分)
(3)应用:若分别以直角三角形三边为直径,向外作半圆(如图),三个半圆的面积分别记作$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$,且$S_{1}+S_{2}+S_{3}=50$,求$S_{2}$的值. (4分)
22. 现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片,三边长分别是a、b、c. 用其中4张纸片拼成如图2的大正方形(空白部分是边长分别为a和b的正方形);用另外4张纸片拼成如图3的大正方形(中间的空白部分是边长为c的正方形).
(1)观察:从整体看,图2和图3的大正方形的边长都为$(a + b)$,所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为$(a + b)^{2}$,记为结论①. 由于整个图形的面积等于各部分面积的和,所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为:________________,记为结论②; (2分)
同样,图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为:__________,记为结论③. (2分)
(2)思考:
由结论①和结论②,可以得到等式________________________; (2分)
由结论②和结论③,可以得到等式________________________. (2分)
(3)应用:若分别以直角三角形三边为直径,向外作半圆(如图),三个半圆的面积分别记作$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$,且$S_{1}+S_{2}+S_{3}=50$,求$S_{2}$的值. (4分)
答案：
(1)$a^{2}+b^{2}+2ab$ $c^{2}+2ab$
(2)$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(3)解：$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=\frac{\pi b^{2}}{8}$，$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{\pi c^{2}}{8}$，$S_{3}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}$，$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\therefore S_{1}+S_{3}=\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi a^{2}}{8}=\frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{8}=\frac{\pi c^{2}}{8}=S_{2}$，$\because S_{1}+S_{2}+S_{3}=50$，$\therefore 2S_{2}=50$，解得$S_{2}=25$。
(1)$a^{2}+b^{2}+2ab$ $c^{2}+2ab$
(2)$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(3)解：$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=\frac{\pi b^{2}}{8}$，$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{\pi c^{2}}{8}$，$S_{3}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}$，$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\therefore S_{1}+S_{3}=\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi a^{2}}{8}=\frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{8}=\frac{\pi c^{2}}{8}=S_{2}$，$\because S_{1}+S_{2}+S_{3}=50$，$\therefore 2S_{2}=50$，解得$S_{2}=25$。
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