《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

六(本题满分12分)
21. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；（6分）
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？（6分）

答案：
(1) 解：四边形$BPCO$为平行四边形. 理由：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore OC = OA=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$.$\because$以点$B$，$C$为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点$P$，$\therefore OB = CP$，$BP = OC$，$\therefore$四边形$BPCO$为平行四边形.
(2) 当$AC\perp BD$，$AC = BD$时，四边形$BPCO$为正方形，$\because AC\perp BD$，$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}$，$\therefore$平行四边形$BPCO$为矩形.$\because AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，$\therefore OB = OC$，$\therefore$矩形$BPCO$为正方形，$\therefore$当$AC\perp BD$，$AC = BD$时，四边形$BPCO$为正方形.

七(本题满分12分)
22. 由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车，第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆.
（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；（4分）
（2）经销商以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，其中甲型号汽车购进a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元.
①求W关于a的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（4分）
②如何购进这两种汽车才能使总销售利润最大？最大利润是多少？（4分）

答案：
(1) 解：设甲型号汽车每辆的进价为$x$万元，乙型号汽车每辆的进价为$y$万元. 依题意，得$\begin{cases}30x + 20y = 270\\14x + 10y = 128\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 7\\y = 3\end{cases}$. 答：甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为$7$万元、$3$万元.
(2) ①由题意，可知乙型号汽车购进$(100 - a)$辆. 则$W=(8.8 - 7)a+(4.2 - 3)(100 - a)=0.6a + 120$. 因为乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的$3$倍，所以$100 - a\geqslant3a$，且$a\geqslant0$，解得$0\leqslant a\leqslant25$，所以$W$关于$a$的函数解析式为$W = 0.6a + 120(0\leqslant a\leqslant25)$. ②对于$W = 0.6a + 120$，因为$0.6\gt0$，所以$W$随$a$的增大而增大. 又$0\leqslant a\leqslant25$，所以当$a = 25$时，$W$取得最大值，此时$W = 0.6\times25 + 120 = 135$，$100 - a = 75$. 答：购进甲型号汽车$25$辆，乙型号汽车$75$辆才能使总销售利润最大，最大利润是$135$万元.