《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

23. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 60cm$，$\angle A = 60^{\circ}$，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D，E运动的时间是t秒（$0 ＜ t\leqslant 15$）. 过点D作$DF\perp BC$于点F，连接DE，EF.
（1）求证：$AE = DF$；（4分）
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（5分）
（3）当t为何值时，$\triangle DEF$为直角三角形？请说明理由.（5分）

答案：
(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，
∴DF=2t.又
∵AE=2t，
∴AE=DF.
(2)解：能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE//DF.又
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形.当四边形AEFD为菱形时，AE=AD=AC - DC，即60 - 4t=2t，解得t=10.
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形.
(3)解：①当∠DEF=90°时，由
(2)知EF//AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°.
∴AD=1/2AE=t.又AD=60 - 4t，即60 - 4t=t，解得t=12；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中，∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE=4t，即60 - 4t=4t，解得t=15/2；③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在.故当t=12或15/2时，△DEF为直角三角形.