搜索
21. 如图，在$\square ABCD$中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
（1）求证：$AB = CF$；（6分）
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？并说明理由.（6分）
（1）求证：$AB = CF$；（6分）
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？并说明理由.（6分）
答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DF.
∴∠BAF=∠CFA.
∵E为BC的中点，
∴BE=CE.又
∵∠AEB=∠FEC，
∴△AEB≌△FEC(AAS).
∴AB=CF；
(2)解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形.理由：
∵AB//CF，AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形.
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DF.
∴∠BAF=∠CFA.
∵E为BC的中点，
∴BE=CE.又
∵∠AEB=∠FEC，
∴△AEB≌△FEC(AAS).
∴AB=CF；
(2)解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形.理由：
∵AB//CF，AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形.
22. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME - 7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中$OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \cdots = A_7A_8 = 1$，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}$；$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$，$S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$；$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$，$S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$；……
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律是____________________；（4分）
（2）推算出$OA_{16}$的长是______；（4分）
（3）求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \cdots + S_{2024}^2$的值.（4分）
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}$；$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$，$S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$；$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$，$S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$；……
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律是____________________；（4分）
（2）推算出$OA_{16}$的长是______；（4分）
（3）求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \cdots + S_{2024}^2$的值.（4分）
答案：
(1)(√n)²+1=n+1，Sn=√n/2
(2)4
(3)解：S1²+S2²+S3²+…+S2024²=1/4+2/4+3/4+…+2024/4=1/4×(1+2+3+…+2003+2024)=1/4×(2024×2025)/2=512325.
(1)(√n)²+1=n+1，Sn=√n/2
(2)4
(3)解：S1²+S2²+S3²+…+S2024²=1/4+2/4+3/4+…+2024/4=1/4×(1+2+3+…+2003+2024)=1/4×(2024×2025)/2=512325.
查看更多完整答案，请扫码查看
