《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

八(本题满分14分)
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：$y = - \sqrt{3}x + \sqrt{3}$分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，且∠ACB = 30°.
（1）求A，C两点的坐标；（3分）
（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（6分）
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由.（5分）

答案：
(1) 解：当$x = 0$时，$y=\sqrt{3}$，$\therefore B(0,\sqrt{3})$，当$y = 0$时，$x = 1$，$\therefore A(1,0)$. 在$Rt\triangle BOC$中，$\angle OCB = 30^{\circ}$，$OB=\sqrt{3}$，$\therefore BC = 2\sqrt{3}$.$\therefore OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 3$.$\therefore C(-3,0)$.
(2) $\because OA = 1$，$OB=\sqrt{3}$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle AOB$中，$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}=4$. 同理$BC^{2}=OC^{2}+OB^{2}=3^{2}+(\sqrt{3})^{2}=12$.$\because AC^{2}=(3 + 1)^{2}=16$，$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$\therefore \triangle CBA$为直角三角形，且$\angle CBA = 90^{\circ}$. 分两种情况：①若$M$在线段$BC$上时，$BC = 2\sqrt{3}$，$CM = t$，$\therefore BM = BC - CM = 2\sqrt{3}-t$，此时，$S=\frac{1}{2}BM\cdot AB=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}-t)\times2 = 2\sqrt{3}-t(0\leqslant t\lt2\sqrt{3})$. ②若$M$在$CB$延长线上时，$BC = 2\sqrt{3}$，$CM = t$，$\therefore BM = CM - BC = t - 2\sqrt{3}$，此时，$S=\frac{1}{2}BM\cdot AB=\frac{1}{2}(t - 2\sqrt{3})\times2 = t - 2\sqrt{3}(t\geqslant2\sqrt{3})$. 综上所述，$S=\begin{cases}2\sqrt{3}-t(0\leqslant t\lt2\sqrt{3})\\t - 2\sqrt{3}(t\geqslant2\sqrt{3})\end{cases}$.
(3) 存在，$Q_{1}(1,2)$，$Q_{2}(1,-2)$，$Q_{3}(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$Q_{4}(-1,0)$.