《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

20. 阅读材料：一般地，设平面上任意两点A$(x_1,y_1)$和B$(x_2,y_2)$可以用|AB|表示A，B两点之间的距离，那么该如何计算|AB|呢？作AA′⊥x轴、BB′⊥x轴，垂足分别是点A′，B′；作AA″⊥y轴，垂足为点A″，作BB″⊥y轴，垂足为点B″，且与AA′交于点C，则四边形BB′A′C、四边形ACB″A″是矩形。
∵|BC| = |$x_2 - x_1$|，|AC| = |$y_2 - y_1$|，
∴|AB|² = |BC|² + |AC|² = $(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}$。
∴|AB| = $\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$。
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式。
如：点A（1，4）和点B（5，2）之间的距离|AB| = $\sqrt{(5 - 1)^{2} + (2 - 4)^{2}}$ = $\sqrt{20}$ = $2\sqrt{5}$。
（1）请运用公式计算点M(4，2)和点N(2， - 1)之间的距离；（4分）
（2）在（1）的条件下，点O为原点；求△MNO的周长。（6分）

答案：
(1)解:|MN| = $\sqrt{(4 - 2)² + (2 + 1)²}$ = $\sqrt{13}$,
∴点 M(4,2)和点 N(2,-1)之间的距离是$\sqrt{13}$.
(2)
∵|MO| = $\sqrt{(4 - 0)² + (2 - 0)²}$ = 2$\sqrt{5}$,|NO| = $\sqrt{(2 - 0)² + (-1 - 0)²}$ = $\sqrt{5}$,
∴△MNO 的周长 = |MN| + |MO| + |NO| = $\sqrt{13}$ + 3$\sqrt{5}$.

六(本题满分12分)
21. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF = 2DE，连接CE，AF。
（1）求证：AF = CE；（6分）
（2）当∠B = 30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由。（6分）

答案：
(1)证明:
∵点 D,E 分别是边 BC,AB 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线.
∴DE//AC,AC = 2DE.
∵EF = 2DE,
∴EF = AC.又
∵EF//AC,
∴四边形 ACEF 是平行四边形.
∴AF = CE.
(2)解:当∠B = 30°时,四边形 ACEF 是菱形.理由如下:
∵∠ACB = 90°,∠B = 30°,点 E 为 AB 的中点,
∴CE = $\frac{1}{2}$AB,AC = $\frac{1}{2}$AB.
∴AC = CE.由
(1)可知四边形 ACEF 是平行四边形,
∴四边形 ACEF 是菱形.

七(本题满分12分)
22. 李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：

（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花费180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）（4分）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花费m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；（4分）
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？（4分）

答案：
(1)解:设批发甲种蔬菜 x 千克,批发乙种蔬菜 y 千克,根据题意得$\begin{cases}x + y = 40\\4.8x + 4y = 180\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 25\\y = 15\end{cases}$.答:批发甲种蔬菜 25 千克,批发乙种蔬菜 15 千克.
(2)根据题意得 m = 4.8n + (80 - n)×4,整理得 m = 0.8n + 320.
(3)设全部卖完蔬菜后利润为 w 元,根据题意得 w = (7.2 - 4.8)n + (5.6 - 4)(80 - n),整理得 w = 0.8n + 128,
∵要保证利润不低于 176 元,
∴w = 0.8n + 128≥176,解得 n≥60,
∴至少批发甲种蔬菜 60 千克.