《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

16. 先化简，再求值：$(\frac{y}{x - y}-\frac{y^{2}}{x^{2}-y^{2}})\div\frac{x}{xy + y^{2}}$，其中$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$。

答案： 解：原式$=[\frac{y(x + y)}{(x + y)(x - y)}-\frac{y^{2}}{(x + y)(x - y)}]\div\frac{x}{y(x + y)}=\frac{xy}{(x + y)(x - y)}\cdot\frac{y(x + y)}{x}=\frac{y^{2}}{x - y}$。当$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$时，原式$=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}=2-\sqrt{3}$。

17. 已知$x=\sqrt{7}+2$，$y=\sqrt{7}-2$，求下列各式的值。
①$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$；②$x^{2}-xy + y^{2}$。

答案： 解：$\because x=\sqrt{7}+2$，$y=\sqrt{7}-2$，$\therefore x + y = 2\sqrt{7}$，$xy = 3$。①$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y + x}{xy}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$；②$x^{2}-xy + y^{2}=(x + y)^{2}-3xy=(2\sqrt{7})^{2}-3\times3 = 19$。

18. 实数$a$，$b$在数轴上对应点$A$，$B$的位置如图，化简$\vert a + b\vert-\sqrt{a^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}$。

答案： 解：由数轴上$A$，$B$两点的相对位置可知，$a＞0＞b$且$|a|＜|b|$，$\therefore a + b＜0$，$a - b＞0$，$\therefore|a + b|-\sqrt{a^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}=-(a + b)-a-(a - b)=-a - b - a + a - b=-3a$。

19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间$t(s)$和高度$h(m)$近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$（不考虑阻力的影响）。
(1)求物体从$40m$的高空落到地面的时间。(4分)
(2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)$E = 10\times$物体质量(kg)$\times$高度(m)，某质量为$0.05kg$的鸡蛋经过$6s$落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要$65J$的能量）(6分)

答案：
(1)解：$\because t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，$h = 40m$，$\therefore t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{40}{5}}=2\sqrt{2}(s)$。
(2)$\because t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，$t = 6s$，$\therefore t^{2}=\frac{h}{5}$，$\therefore h = 5t^{2}=180m$，$\therefore E = 10\times0.05\times180 = 90(J)$，$\because 90J＞65J$，对人构成杀伤，故严禁高空抛物。