《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10.在三棱锥$A - BCD$中，已知$AB = AC = BD = CD = 3$，$AD = BC = 2$，$M$，$N$分别是$AD$，$BC$的中点，则( )
A. $MN\perp AD$
B. 异面直线$AN$，$CM$所成的角的余弦值是$\frac{7}{8}$
C. 三棱锥$A - BCD$的体积为$\frac{4\sqrt{7}}{3}$
D. 三棱锥$A - BCD$的外接球的表面积为$11\pi$

答案：
ABD

11.已知函数$f(x)=e^x\cdot(\sin x+\cos x)$，则( )
A. $f(x)$的零点为$x = k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$
B. $f(x)$的单调递增区间为$[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}]$，$k\in\mathbf{Z}$
C. 当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，若$f(x)\geqslant kx$恒成立，则$k\leqslant\frac{2}{\pi}\cdot e^{\frac{\pi}{2}}$
D. 当$x\in[-\frac{1003\pi}{2},\frac{1005\pi}{2}]$时，过点$(\frac{\pi - 1}{2},0)$作$f(x)$的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为$502\pi$

答案：
ACD

12.直线$3x - 4y + 3 = 0$的一个方向向量是______.

答案： **答案**：\((1,\frac{3}{4})\)（答案不唯一） - **解析**：直线的方向向量。直线\(3x - 4y+3 = 0\)的斜率为\(\frac{3}{4}\)，故直线的一个方向向量为\((1,\frac{3}{4})\)。

13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为______.

答案： **答案**：\(\frac{2}{5}\) - **解析**：条件概率+相互独立事件的概率。设甲获得冠军为事件\(A\)，比赛进行三局为事件\(B\)，则\(P(A)=\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}+C_{2}^{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{20}{27}\)，\(P(AB)=C_{2}^{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\)，故\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{8}{27}}{\frac{20}{27}}=\frac{2}{5}\)。 

14.已知函数$f(x)$及其导函数$f^\prime(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，记$g(x)=f^\prime(x)$，若$f(2x - 1)$，$g(x - 2)$均为偶函数，且当$x\in[1,2]$时，$f(x)=mx^3 - 2x$，则$g(2024)=$______.

答案： **答案**：\(-6\) - **解析**：抽象函数的奇偶性与周期性 - **思维导图**：\(f(2x - 1)\)为偶函数\(\to f(x)=f(-x - 2)\xrightarrow{求导}g(x)=-g(-x - 2)\xrightarrow{g(x - 2)\)为偶函数\(g(x)\)的周期为\(4\to g
(2024)=g
(0)\xrightarrow{在\(g(x)=-g(-x - 2)\)中令\(x=-1\)，得\(g(-1)=0\xrightarrow{在\(g(x + 2)=-g(x)\)中令\(x=-1\)，得\(g
(1)=0\xrightarrow{g(x)=f^{\prime}(x)m=\frac{2}{3}\to g
(2)=6\to g
(0)=-6\to g
(2024)\)。 - 若\(f(2x - 1)\)为偶函数，则\(f(-2x - 1)=f(2x - 1)\)，即\(f(x)=f(-x - 2)\)，两边同时求导得\(f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(-x - 2)\)，即\(g(x)=-g(-x - 2)\)。又\(g(x - 2)\)为偶函数，则\(g(-x - 2)=g(x - 2)\)，所以\(g(x)=-g(x - 2)\)，则\(g(x + 2)=-g(x)\)，所以\(g(x + 4)=-g(x + 2)=g(x)\)，可知\(g(x)\)是周期为\(4\)的周期函数，所以\(g
(2024)=g(0 + 506\times4)=g
(0)\)，在\(g(x)=-g(-x - 2)\)中，令\(x=-1\)，得\(g(-1)=-g(-1)\)，所以\(g(-1)=0\)，在\(g(x + 2)=-g(x)\)中，令\(x=-1\)，得\(g
(1)=-g(-1)=0\)。当\(x\in[1,2]\)时，\(f(x)=mx^{3}-2x\)，所以\(g(x)=f^{\prime}(x)=3mx^{2}-2\)，由\(g
(1)=3m - 2 = 0\)，得\(m=\frac{2}{3}\)，所以\(g
(2)=3\times\frac{2}{3}\times2^{2}-2 = 6\)，故\(g
(0)=-g
(2)=-6\)，所以\(g
(2024)=-6\)。 

15.(13分)
如图，斜棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的底面是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$B_1$在底面$ABC$内的射影恰好是$BC$的中点，且$BC = CA = 2$.
(Ⅰ)求证：平面$ACC_1A_1\perp$平面$B_1C_1CB$；
(Ⅱ)若斜棱柱的高为$\sqrt{3}$，求平面$ABB_1$与平面$AB_1C_1$夹角的余弦值.

答案：
**答案**： - （Ⅰ）证明：取\(BC\)中点为\(M\)，连接\(B_{1}M\)。因为\(B_{1}\)在底面\(ABC\)内的射影恰好是\(BC\)的中点，所以\(B_{1}M\perp\)平面\(ABC\)。又\(AC\subset\)平面\(ABC\)，所以\(B_{1}M\perp AC\)。因为\(\angle ACB = 90^{\circ}\)，所以\(AC\perp BC\)。又\(B_{1}M\)，\(BC\subset\)平面\(B_{1}C_{1}CB\)，\(B_{1}M\cap BC = M\)，所以\(AC\perp\)平面\(B_{1}C_{1}CB\)。又\(AC\subset\)平面\(ACC_{1}A_{1}\)，所以平面\(ACC_{1}A_{1}\perp\)平面\(B_{1}C_{1}CB\)。 - （Ⅱ）以\(C\)为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。因为\(BC = CA = 2\)，所以\(A(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(M(0,1,0)\)，\(B_{1}(0,1,\sqrt{3})\)，\(C_{1}(0,-1,\sqrt{3})\)，则\(\overrightarrow{AB_{1}}=(-2,1,\sqrt{3})\)，\(\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)\)，\(\overrightarrow{B_{1}C_{1}}=(0,-2,0)\)，设平面\(ABB_{1}\)的法向量为\(\boldsymbol{n}=(x,y,z)\)，则\(\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}-2x + y+\sqrt{3}z = 0\\-2x + 2y = 0\end{cases}\)，令\(z=\sqrt{3}\)，则\(x = y = 3\)，所以\(\boldsymbol{n}=(3,3,\sqrt{3})\)。设平面\(AB_{1}C_{1}\)的法向量为\(\boldsymbol{m}=(a,b,c)\)，则\(\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{B_{1}C_{1}}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}-2a + b+\sqrt{3}c = 0\\-2b = 0\end{cases}\)，则\(b = 0\)，令\(a=\sqrt{3}\)，得\(c = 2\)，所以\(\boldsymbol{m}=(\sqrt{3},0,2)\)，所以\(\vert\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle\vert=\frac{\vert\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}\vert}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\boldsymbol{m}\vert}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{9 + 9+3}\times\sqrt{3 + 0 + 4}}=\frac{5}{7}\)，所以平面\(ABB_{1}\)与平面\(AB_{1}C_{1}\)夹角的余弦值为\(\frac{5}{7}\)。