《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

16. （15分）
如图所示，平面$ACFE\perp$平面$ABCD$，且四边形$ACFE$是矩形，在四边形$ABCD$中，$\angle ADC = 120^{\circ}$，$2AB = 2AD = 2CD = BC = 6$.
（Ⅰ）若$\overrightarrow{EM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{EF}$，求证：$AM//$平面$BDF$；
（Ⅱ）若直线$BF$与平面$ABCD$所成角为$\frac{\pi}{6}$，求平面$BED$与平面$BCF$所成锐二面角的余弦值.

答案：

线面平行的判定定理+线面角+平面与平面所成角

解:(I)证明:连接BD与AC交于点O，连接OF，AM，如图

(题眼)(提示:正确作出辅助线).

∵ AD=CD=3,∠ADC=120°,

∴ ∠DAC=∠DCA=30°,由余弦定理易得AC=3 $\sqrt{3}$ .

又AB=3,BC=6,
∴ AC²+AB²=BC²,

∴ AC⊥AB,
∴ ∠CAB=90°.

又AB= $\frac{1}{2}$ BC,
∴ ∠ACB=30°,

∴ AD//BC且AD= $\frac{1}{2}$ BC,

即四边形ABCD是等腰梯形， (3分)

∴ AO= $\frac{1}{3}$ AC= $\frac{1}{3}$ EF=MF.

又AO//MF,
∴ 四边形AOFM是平行四边形， (6分)

.AM//OF.

又AM平面BDF,OFC平面BDF，

..AM//平面BDF. (7分)

(III)
∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE门平面ABCD=

AC,AE⊥AC,AEC平面ACFE,

∴ AE⊥平面ABCD.

如图,以A为坐标原点,AC，AB，AE所在真线分别为x

轴建立空间真角坐标系(题眼),

又CF//AE,
∴ CF⊥平面ABCD，

由直线BF与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{6}$ ,

得∠FBC= $\frac{π}{6}$ ,则易得CF=2 $\sqrt{3}$ , (8分)

∴ B(0,3,0),C(3 $\sqrt{3}$ ,0,0),F(3 $\sqrt{3}$ ,0,2 $\sqrt{3}$ ),E(0,0,2 $\sqrt{3}$ ),

D( $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ,− $\frac{3}{2}$ ,0),

则BE=(0,−3,2 $\sqrt{3}$ ),BD=( $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ,− $\frac{9}{2}$ ,o, {

BC=(3 $\sqrt{3}$ ,−3,0),BF=(3 $\sqrt{3}$ ,−3,2 $\sqrt{3}$ ). (9分)

设平面BED的法向量为n1=(x,y,z),

BE.n1=−3y+2 $\sqrt{3}$ x=0,

则

{ BD.n= $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ x− $\frac{9}{2}$ y=0,

令y=2,可得n1=(2 $\sqrt{3}$ ,2，, $\sqrt{3}$ ). (11分)

设平面BCF的法向量为n2=(x1,y1,z1),

BC.n2=3 $\sqrt{3}$ x1−3y1=0,

则 { BF.n2=3 $\sqrt{3}$ x1−3y1+2 $\sqrt{3}$ x1=0,

令x=1,可得n2=(1, $\sqrt{3}$ ,0), (13分)

设平面BED与平面BCF所成锐二面角为θ，

|n.n21

∴ cos =īnī1nī= $\frac{2\sqrt{57}}{19}$ ,

即平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值为257

(15分)

17. （15分）
2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代替着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为$n$的样本进行调查，调查结果如下表：

附：

$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，其中$n = a + b + c + d$.
（Ⅰ）完成上述列联表，依据小概率值$\alpha = 0.05$的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量$n$的最小值；
（Ⅱ）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）

答案：

独立性检验+随机事件的概率

解:(I)补全列联表如表所示.

关注度

学生群体 合计

关注 不关注

大学生 $\frac{1}{2}$ n $\frac{1}{5}$ n

高中生 $\frac{1}{10}$ n $\frac{1}{5}$

合计 $\frac{3}{5}$ n $\frac{2}{5}$ n n

(2分)

重假设为H 关注航于事业发展与学生群体无关(题眼).

根据列联表中的数据，经计算得到 x²=

2

n( $\frac{n}{2}$ . $\frac{n}{5}$ − $\frac{n}{5}$ . $\frac{n}{10}$ )

= $\frac{8n}{63}$ (提示:正确得出结果，进而

$\frac{7n}{10}$ . $\frac{3n}{10}$ . $\frac{3n}{5}$ . $\frac{2n}{5}$

−数学 .答113−

求解). (4分)

因为依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事

业发展与学生群体有关，

所以x²= $\frac{8n}{63}$ >3.841,解得n>30.25, (6分)

又由题可知,n是10的倍数，
∴ nm in =40. (7分)

(II)记小华同学答出三个问题的事件分别为A，B，C，

则P(A)= $\frac{3}{4}$ ,P(B)= $\frac{2}{3}$ ,P(C)= $\frac{1}{2}$ .

记选择方案一晋级的概率为P1，

则P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)= $\frac{3}{4}$ ×

$\frac{2}{3}$ x $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{4}$ × $\frac{1}{3}$ × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ × $\frac{2}{3}$ x $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{4}$ x $\frac{2}{3}$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{17}{24}$ .

(11分)

记选择方案二晋级的概率为P2，

则P2= $\frac{1}{3}$ P(AB)+ $\frac{1}{3}$ P(BC)+ $\frac{1}{3}$ P(AC)= $\frac{1}{3}$ x( $\frac{3}{4}$ ×

$\frac{2}{3}$ + $\frac{2}{3}$ x $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{4}$ × $\frac{1}{2}$ )= $\frac{29}{72}$ .

因为P>1，以远择方案一目级的可更.

(15分)