《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择. 事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是 ( )
A. 事件M与N互斥
B. $P(N|M)=P(M|N)$
C. $P(\overline{MN})=\frac{31}{36}$
D. $P(M\cup N)=\frac{2}{3}$

答案： BC

11. 已知定义在实数集R上的函数$f(x)$，其导函数为$f^{\prime}(x)$，且满足$f(x + y)=f(x)+f(y)+xy$，$f(1)=0$，$f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$，则 ( )
A. $f(0)=0$
B. $f(x)$的图象关于点$(\frac{1}{2},0)$中心对称
C. $f(2024)=1012\times2023$
D. $\sum_{k = 1}^{2024}f^{\prime}(k)=1012\times2024$

答案： ACD

12. 已知集合$A = \{x\in Z|-2x^{2}+7x - 3\geq0\}$，集合$B = \{x|\log_{2}x＞1\}$，则$A\cap B =$_______.

答案： 3

13. 如图，在正四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$BB_{1}=2$，$AB = AD = 1$，E为$AA_{1}$的中点，则$A_{1}C$的中点到平面DCE的距离为_______.

答案：
$\frac{\sqrt{2}}{4}$ 棱锥的体积公式+点到平面的距离+正四棱柱的结构特征 解法一：如图1，连接$A_{1}D$，由正四棱柱的结构特征知$CD\perp$平面$A_{1}ADD_{1}$，则$V_{C - A_{1}DE}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}DE}\cdot CD=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1\times1\times1=\frac{1}{6}$. 设$A_{1}C$的中点为O，则点O到平面DCE距离为点$A_{1}$到平面DCE距离的$\frac{1}{2}$. 设点$A_{1}$到平面DCE的距离为d，由$V_{A_{1}-DCE}=V_{C - A_{1}DE}=\frac{1}{6}$（方法：求点到平面的距离问题常利用等体积法求解），得$V_{A_{1}-DCE}=\frac{1}{3}S_{\triangle DCE}\cdot d=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DE\cdot d=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{2}\cdot d=\frac{\sqrt{2}}{6}d=\frac{1}{6}$，解得$d=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以O到平面DCE的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$. 解法二：以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$C(0,1,0)$，$E(1,0,1)$，$A_{1}(1,0,2)$，所以$\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{DE}=(1,0,1)$. 设$A_{1}C$的中点为M，则$M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$，所以$\overrightarrow{ME}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$. 设平面DCE的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC}=y = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DE}=x + z = 0\end{cases}$，令$x = 1$，则$\boldsymbol{n}=(1,0,-1)$，所以点M到平面DCE的距离$d=\frac{|\overrightarrow{ME}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 

14. 已知实数a，b满足$a^{2}-ab + b^{2}=1$，则ab的最大值为_______；$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}$的取值范围为_______.

答案：  $[1,\frac{4\sqrt{2}+5}{7}]$

15. (13分)
等差数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，同时满足$a_{n}\in N^{*}$，$a_{3}$，$S_{3}$，$a_{7}$成等差数列，$S_{2}$是$a_{2}-1$和$S_{3}-1$的等比中项.
(Ⅰ)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(Ⅱ)当$b_{n}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}$时，求数列$\{b_{n}\}$的前n项和$T_{n}$.

答案：

等差数列的通项公式+等差数列的性质+等比数列的性质+

分组求和法与裂项相消法的应用

解:(I)设等差数列{a，}的公差为d，

2S3=a3+a7,

由题可知， { S²=(a2−1)(S3−1) →

d=2a1,

{ (2a1+d)²=(a1+d−1)(3a1+3d−1) →

11a²−12a1+1=0→a1=1或a1= $\frac{1}{11}$ (舍)(提醒:注意根据条

件中的限制条件进行取舍)，
∴ d=2,

∴ a=2n−1,nEN". (6分)

(III)b=(2n−1)+ $\frac{1}{(2n−1)(2n+1)}$

=(2n−1)+ $\frac{1}{2}$  $\frac{1}{2n−1}$ − $\frac{1}{2n+1}$ { (易错:在裂项时易

漏写 $\frac{1}{2}$ { ,

∴ Tn=b+b2+...+b"

=n²+ $\frac{1}{2}$ (1− $\frac{1}{2n+1}$ )=n²+2²+1 . (13分)