《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10. 已知递增等比数列$\{ a_{n}\} $的公比为$q$，且满足$a_{3}^{2}+3a_{4}=a_{5}$，下列情况可能正确的是（ ）
A. $q = 2$
B. $q=\frac{1}{2}$
C. $a_{4}=-1$
D. $a_{4}=2024$

答案： AD

11. 直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的各顶点都在半径为2的球$O$的球面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若$\overrightarrow{D_{1}A}+\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{D_{1}O}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB_{1}} = 0$
B. 若$AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD_{1}} = 0$
C. 若$AC = BD$，则点$A$，$B$，$C_{1}$，$D_{1}$，$O$共面
D. 若$AC = 1$，$BD = 2$，则四棱柱体积的最大值为$2\sqrt{3}$

答案： ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对于任意的正数$m$，$n$，不等式$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}\geqslant\frac{\lambda}{2m + n}$成立，则$\lambda$的最大值为________.

答案： 16

13. 已知抛物线$C_{1}:y^{2}=2x$，$C_{2}:y^{2}=4x$的焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，点$P$，$Q$分别在$C_{1}$，$C_{2}$上，且线段$PQ$平行于$x$轴.若$\triangle F_{2}PQ$是等腰三角形，则$|PQ|=$________.

答案： $\frac{3}{2}$

14. 已知函数$f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}+a\cos\pi x$在区间$(0,4)$有2个零点和4个极值点，则$a$的取值范围是________.

答案：
 $(-1,-\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{4},1)$

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
在$\triangle ABC$中，$\angle A=\frac{\pi}{3}$，$AB = 3$，$AC = 2$.
(Ⅰ)求点$A$到边$BC$的距离；
(Ⅱ)设$P$为边$AB$上一点，当$PB^{2}+PC^{2}$取得最小值时，求$\triangle PBC$外接圆的面积.

答案： (Ⅰ)由余弦定理可知$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos A=9 + 4-2\times3\times2\times\frac{1}{2}=7$， 则$BC=\sqrt{7}$.(3 分) 设点$A$到边$BC$的距离为$d$，由三角形的面积公式得$\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac{1}{2}BC\cdot d$(提示：等面积法求距离)， 即$\frac{1}{2}\times3\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\times\sqrt{7}\times d$，解得$d=\frac{3\sqrt{21}}{7}$.(6 分) (Ⅱ)设$PB = x$，则$AP = 3 - x$， 在$\triangle APC$中，由余弦定理可知$PC^{2}=AP^{2}+AC^{2}-2AP\cdot AC\cdot\cos A$， 故$PB^{2}+PC^{2}=x^{2}+(3 - x)^{2}+4-2\times(3 - x)\times2\times\frac{1}{2}=2(x - 1)^{2}+5$(题眼)(提示：得出$PB^{2}+PC^{2}$的表达式，利用二次函数的性质确定最值)， 故当$PB = x = 1$时，$PB^{2}+PC^{2}$取得最小值，(9 分) 此时$AP = 2 = AC$，则$\triangle APC$是等边三角形， 故$\angle APC=\frac{\pi}{3}$，$\angle BPC=\frac{2\pi}{3}$.(10 分) 设$\triangle PBC$外接圆半径为$R$，由正弦定理的推广得$\frac{BC}{\sin\angle BPC}=2R$，即$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$，解得$R=\frac{\sqrt{21}}{3}$， 故$\triangle PBC$外接圆的面积为$\pi R^{2}=\frac{7\pi}{3}$.(13 分)