《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

1. 记复数$z$的共轭复数为$\overline{z}$，若$z(1 + i)=2 - 2i$，则$|\overline{z}|=$( )
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$

答案： 1.C复数的运算+共轭复数+复数的模
　解法−:由x(1+i)=2−2i,得x=$\frac{2−2i}{1+i}$=$\frac{(2−2i)(1−i)}{(1+i)(1−i)}$=
　−2i,故|N|=|N|=2,故选C.
　解法二:设x=a+bi,由x(1+i)=2−2i,得a−b+(a+b)i=
　2−2i,所以{aa−+bb==2−,2,解得{ab==0−,2,所以x=−2i,所以|x|=|||=2,故选C.

2. 已知集合$A=\left\{x\left|x=\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\right.\right\},B=\left\{x\left|x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\right.\right\}$，则( )
A. $A = B$
B. $A\cap B=\varnothing$
C. $A\subseteq B$
D. $A\supseteq B$

答案： 2.D集合间的基本关系　因为集合A={x|x=$\frac{k}{2}$.π,k∈z),B={x|x=$\frac{π}{2}$+kπ,k∈z}={x|x=$\frac{2k+1}{2}$.π,k∈Z)
　所以A二B，故选D.

3. 双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的顶点到其渐近线的距离为( )
A. $\sqrt{3}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 3.C双曲线的几何性质+点到直线的距离公式　因为双曲线$\frac{x²}{3}$−y²=1的顶点坐标为(±$\sqrt{3}$,0),渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,|(±$\frac{\sqrt{3}}{3}$)×(±$\sqrt{3}$)|
　所以其顶点到渐近线的距离为　　　　　　　　　=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(方$\sqrt{(±\frac{\sqrt{3}}{3})+1}$
　法;求出顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解)，故选C;

4. 过$A(-1,0),B(0,3),C(9,0)$三点的圆与$y$轴交于$M,N$两点，则$|MN|=$( )
A. 3
B. 4
C. 8
D. 6

答案： 4.D圆的方程
　解法一:设过A,B,C三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,将A(−1,0),B(0,3),C(9,0)的坐标代入可得1−D+F=0,　　　　=−8,
　9+3E+F=0，解得　　=0，　故圆的方程为x²+y²−8x-81+9D+F=0,　　　=−9,
　{
　9=0,令x=0,解得y=±3,所以|MN|=6,故选D.
　解法二:易知线段AC的垂直平分线为x=4,AB的垂直平分线为y−$\frac{3}{2}$=−$\frac{1}{3}$(x+$\frac{1}{2}$),令x=4,可得y
C三点的圆的圆心为(4,0),则此圆关于x轴
　点B(0,3),故与y轴的另一交点为(0,−3),
　故选D.

5. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%。那么，大约需要经过多少天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:$\lg102\approx2.0086,\lg99\approx1.9956,\lg2\approx0.3010$)( )
A. 23
B. 100
C. 150
D. 232

答案： 5.B函数模型的应用+对数的运算　令甲和乙刚开始的“日能力值"均为1,n天后，甲和乙的“日能力值”分别为(1+2%)”和(1−1%)",由题知$\frac{(1+2%)"}{(1−1%)"}$=20,即($\frac{102}{99}${”=20,两边分别取对数得nlg$\frac{102}{99}$=lg20,因此n=$\frac{1+1g2}{lg102−lg99}$
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　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{1+0.3010}{2.0086−1.9956}$≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍，故选B.

6. “$\alpha=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in \mathbf{Z})$”是“$\frac{\sqrt{3}\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\sqrt{3}+1$”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 6.A充分条件和必要条件的判断　因为$\frac{\sqrt{3}cos²a+sin²a}{sinacosa}$=$\sqrt{3}$+1,所以$\frac{\sqrt{3}+tan²a}{tana}$=$\sqrt{3}$+1(方法:由齐次式求解tanα，可得α)，即tan²α−($\sqrt{3}$+1)tanα+$\sqrt{3}$=0,解得tanα=$\sqrt{3}$或1,所以α=
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{π}{3}$+kπ或α=$\frac{π}{4}$+kπ,k∈Z,所以“α=$\frac{π}{4}$+kπ,k∈Z”是$\frac{\sqrt{3}cos²a+sin²a}{sinacosa}$=$\sqrt{3}$+1"的充分不必要条件，故选A.

7. 分别以锐角三角形$ABC$的边$AB,BC,AC$为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为$\sqrt{3}:\sqrt{6}:2$，则$\cos B=$( )
A. $\frac{5\sqrt{3}}{12}$
B. $\frac{5\sqrt{2}}{12}$
C. $\frac{3\sqrt{2}}{8}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{12}$

答案： 7.C旋转+圆锥的体积公式+余弦定理的推论　设以边AB，
BC,AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积分别为V，V2,V33,设AB边上的高为x,则$\frac{1}{2}$CA.CBsinC=$\frac{1}{2}$AB.x,可得x=$\frac{CA.CBsinC}{AB}$,则V=$\frac{1}{3}$πx².AB=$\frac{πCA².CB²sin²C}{3AB}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　(提示:以锐角三角形的一边为旋转轴旋转一周后得到的几何体为两个同底的圆锥)，同理，V2=$\frac{πAB².AC²sin²A}{3BC}$,V3=
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{πAB².BC²sin²B}{3AC}$，　由题意得　$\frac{πCA².CB²sin²C}{3AB}$　:
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{πAB².AC²sin²A}{3BC}$:$\frac{πAB².BC²sin²B}{3AC}$=$\sqrt{3}$:$\sqrt{6}$:2,整理可C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB,所以由余弦定理的推论得cosB=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{3\sqrt{2}}{8}$,故选C.

8. 已知集合$A=\left\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{3},2,3\right\}$，若$a,b,c\in A$且互不相等，则使得指数函数$y = a^{x}$，对数函数$y=\log_{b}x$，幂函数$y = x^{c}$中至少有两个函数在$(0,+\infty)$上单调递增的有序数对$(a,b,c)$的个数是( )
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48

答案： 8.B分类加法计数原理
[思维导图]已知条件→指数函数y=ax、对数函数y=
　　　　　　　　　　　　　　　　　logsx、幂函数y=xc中两个在(0,+oo)上单调递增或三个
　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数都在(0,十∞o)上单调递增→四种情况的可能种数相加
　　　　　　　　　　　　　　　　　得解.
由题意知,满足指数函数y=a²(a＞0且a≠1),对数函数y=
　logx(b＞0且b≠1),，且使其在(0,+∞o)上单调递增的a,b值都只有2个,分别是2,3;满足幂函数y=xc，且使其在(0，十∞)上单调递增的c值有4个，分别是$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,2,3.因为a,b，c互不相等，所以可分四种情况讨论:①当指数函数y=a²，对数函数y=logx在(0,+oo)上单调递增,而幂函数y=xc不满足时,有2×1×2=4(种);②当指数函数y=a²,幂函数y=
　xc在(0,+oo)上单调递增，而对数函数y=logx不满足时，有2×2×2=8(种);③当对数函数y=logx,幂函数y=xc在(0,+oo)上单调递增，而指数函数y=a²不满足时，有2×2×2=8(种);④当三个函数都在(0,+∞⁰)上单调递增，有2×1×2=4(种),由分类加法计数原理得，共有4+8+8+4=24(种)
　选法，即满足条件的有序数对(a，b,c)的个数是24(方法:可根据三个函数中有两个在(0，十∞)上单调递增和三个都在(0,十∞)上单调递增分类求解),故选B.

9. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{3}),\boldsymbol{b}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，则下列结论正确的是( )
A. 若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\tan\alpha=\sqrt{3}$
B. 若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. 若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 3$
D. 若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，则$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量的坐标是$\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

答案： 9.ABD　向量的运算+向量的平行+向量的垂直+向量的模+投影向量　由a=(1，,$\sqrt{3}$),b=(cosa,sinα),得｜a|=2,｜b|=1,对于A,当a//b时,sinα=$\sqrt{3}$cosα(题眼),可得tanα=√3，故选项A正确;对于B,当a⊥b时，cosa十$\sqrt{3}$sinα=0,则tanα=
　−$\frac{\sqrt{3}}{3}$,故选项B正确;对于C,当a,b的夹角为$\frac{π}{3}$时,a.b=
　lal.|b|cos$\frac{π}{3}$=1,故la−bl=$\sqrt{a²+b²−2a.b}$=$\sqrt{4+1−2}$=
　$\sqrt{3}$,故选项C错误;对于D,由选项A知，当a,b的方向相反时，tanα=$\sqrt{3}$，则cosα=一$\frac{1}{2}$,sinα=−$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即b=
　($\frac{1}{2}$,−$\frac{\sqrt{3}}{2}${,所以b在a上的投影向量为$\frac{a.b}{al}$.$\frac{a}{la}$=
　(−$\frac{1}{2}$,−$\frac{\sqrt{3}}{2}$),故选项D正确,故选ABD.