《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 记等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$. 若$a_{5}=7$，$a_{10}=2$，则$S_{14}=$（ ）
A. 49
B. 63
C. 70
D. 126

答案： 通解:设等差数列{a}的公差为d,由题意得{as=a1+4d=7,解ao=a1+9d=2,得{a=11,所以S14=14×11+$\frac{14×13}{2}$×(−1)=63,故选B.
　　d=−1,
　快解:S14=$\frac{14(a+a)}{2}$=$\frac{14(as+a1o)}{2}$=7×(7+2)=63,故选B.

2. 已知$\boldsymbol{a}=(m,1)$，$\boldsymbol{b}=(3m - 1,2)$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$m =$（ ）
A. 1 B. -1 C. $\frac{2}{3}$ D. $-\frac{2}{3}$

答案： 共线向量　由a//b,得2m−(3m−1)=0,解得m=1,故选A.

3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师. 既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（ ）
A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{17}{24}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{33}{40}$

答案： 古典概型　由题意得，没有荣获“优秀员工"称号的高级工程师有120−85−14=21(人)，所以该公司高级工程师的总人数为75+21=96，所以随机选择一名员工，是高级工程师的概率为$\frac{96}{120}$=$\frac{4}{5}$,故选C.

4. 与抛物线$x^{2}=2y$和圆$x^{2}+(y + 1)^{2}=1$都相切的直线的条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案： 直线与圆的位置关系+直线与抛物线的位
　解法−:由题知,与抛物线x²=2y和圆x²+
　切的直线存在斜率,设切线方程为y=kx十b,则$\frac{|1+6|}{\sqrt{1+k²}}$=1,化简得k²=b²+2b(题眼).联立{x²=2y,　消去y,得x²−y=kx+b,
　2kx−2b=0,因为A=4k²+8b=0(提醒:直线与抛物线相切，则必有判别式等于0),所以4(b²+2b)+8b=0,解得b=−4 或b=0.当b=−4时,k²=b²+2b=8,解得k=±2$\sqrt{2}$;当b=
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　　　　　　　　　　　　　　　　　0时,k²=b²+2b=0,所以切线方程为y=±2$\sqrt{2}$x−4或y=
　　　　　　　　　　　　　　　　　0,即与抛物线和圆都相切的直线共有3条，故选D.
　　　　　　　　　解法二:设直线与抛物线x²=2y相切的切点坐标为(c)$\frac{1}{2}$t²),由y=$\frac{1}{2}$x²(提醒:在利用导数的几何意义求抛物线的切线方程时，需先将抛物线方程转化为标准的函数形式),得y'=x,所以当x=t时,y'=t,则抛物线x²=2y在点(t，,$\frac{1}{2}$t²)处的切线方程为y一$\frac{1}{2}$t²=t(x−t),即tx−y−$\frac{1}{2}$t²=0(题眼).由题意知,该切线同时与圆x²+(y+1)²=1 |$\frac{1}{2}$2|
　　　　　　　　　　　　　　　　　相切，所以$\frac{2}{\sqrt{t²+1}}$=1,解得t=0或t=±2$\sqrt{2}$,所以与抛物的切线条数为3,故选D.

5. 已知$a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$三个内角$A$，$B$，$C$的对边，且$a\cos C+\sqrt{3}a\sin C=b$，则$A =$（ ）
A. $\frac{\pi}{6}$ B. $\frac{\pi}{4}$ C. $\frac{\pi}{3}$ D. $\frac{\pi}{2}$

答案： 两角和的正弦公式　由acosC+$\sqrt{3}$asinC=b 得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB(题眼)(方法:题设中如果边和角的正弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化角，再结合和、差、倍角的正、余弦公式进行解答)，即sinAcosC+√3sinAsinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,整理得$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC.因为sinC＞0,所以tanA=
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{\sqrt{3}}{3}$.又0＜A＜π,所以A=$\frac{π}{6}$，故选A.

6. 若$a = \sin1$，$b = \lg(\tan1)$，$c = \frac{1}{2}$，则（ ）
A. $c\lt b\lt a$ B. $b\lt a\lt c$ C. $b\lt c\lt a$ D. $a\lt c\lt b$

答案： 利用函数的单调性比较大小　因为1＞$\frac{π}{6}$,且函数y=sinx 在(0,$\frac{π}{2}$)上单调递增,所以sinl＞sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$,所以a＞c(小结:比较函数值的大小是函数单调性的简单应用，解题的关键是判断出函数的单调性).因为1＜$\frac{π}{3}$,且函数y=tanx在(0,$\frac{π}{2}$)上单调递增,所以tanl＜tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$(题眼)，所以$\frac{π}{3}$$\sqrt{3}$
　lg(tan1)＜lg$\sqrt{3}$＜1g$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$,即b＜c.综上所述，b＜c＜a，故选C;

7. 已知复数$z_{1}$，$z_{2}$满足$2|z_{1}| = |z_{2}| = |2z_{1}-z_{2}| = 2$，则$\left|z_{1}+\frac{1}{2}z_{2}\right| =$（ ）
A. 1 B. $\sqrt{3}$ C. 2 D. $2\sqrt{3}$

答案： 复数的模长公式设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则由题意，得2　$\sqrt{a²+b²}$=　$\sqrt{c²+d²}$=　$\sqrt{(2a−c)²+(2b−d)²}$=2(关键:利用复数的模长公式,转化已知条件),所以a²+b²=1,c²+d²=
　4,则8−4(ac+bd)=4,即ac+bd=1(题眼),所以|x1+$\frac{1}{2}$z2|=
　　$\sqrt{(a+c)²+(b+d)²}$　$\sqrt{α²+b²+(c²+d²)+ac+bd}$
　$\sqrt{1+×4+1}$=,故选B

8. 若不等式$\ln x\leqslant\frac{a}{x}+b\leqslant e^{x}(a,b\in\mathbf{R})$对任意的$x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]$恒成立，则$a$的最小值为（ ）
A. $-3e^{\frac{3}{2}}$ B. $-\frac{5}{2}e^{\frac{3}{2}}$ C. $\frac{3}{2}\ln\frac{3}{2}$ D. $3e - 3\ln\frac{3}{2}$

答案：
不等式恒成立问题+导数的几何意义
　|[思维导图]已知条件→转化不等式→求直线y=bx+a的;|1纵截距的最小值→设f(x)=xe²,x∈[1,$\frac{3}{2}$],g(x)=i |x1nx,x∈,$\frac{3}{2}${导数法f(x)单调性与凹凸性→直线与−{f(x)单调性与凹凸性→直线与{−;曲线f(r)相切,切点横坐标越大,纵截距越小→切线方;|程→得解.
　不等式Inx≤$\frac{a}{x}$+b≤e'(a,b∈R))在x∈[1,$\frac{3}{2}$]上恒成立等价于不等式zlnz≤bx+a≤xe在x∈[11,$\frac{3}{2}$]上恒成立,则求α的最小值即求真线y=br十a的纵截距的最小值(题眼).设f(x)=xex,x∈[,$\frac{3}{2}$],g(x)=xlnx,x∈[,$\frac{3}{2}${,则f"(x)=e2((x+1)),当x∈[11,$\frac{3}{2}$]时,f(xr)＞0,所以单调与递曲增线，f又(xf)'相(x切)单,切调点递横增坐，所标越以大f(,x纵)截的距图越象小上(凹(难，点所:以根直据线数图象将问题转化为切线的截距问题),当切线过点($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}${时，切线斜率为$\frac{5}{2}$e,此时切线方程为y=e2($\frac{5}{2}$x−$\frac{9}{4}${,当3　　　3
　x=1时,y=$\frac{e2}{4}$＞$\frac{2.56²}{4}$=1.024＞xlnx，即该直线与曲线f(x)相切时，与曲线g(x)无交点，不满足题意(易错:忘记验
证直线与另一段函数图象的位置关系).因为g'(x)=Inr+1，。所以曲线g(x)在x=$\frac{3}{2}$处的切线斜率为ln$\frac{3}{2}$+1,在x=1处
　的切线斜率为1,均小于$\frac{5}{2}$e2,令直线y=bx+a在x=$\frac{3}{2}$处
　与曲线f(x)相交，在x=1处与曲线g(x)相交，所以直线方
　程为y=$\frac{3}{2}$−0(x−1)+0=3e²(x−1),所以纵截距α的
　　　　　$\frac{3}{2}$−1
　最小值为−3e~,故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆$C:3x^{2}+4y^{2}=48$的两个焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，$P$是$C$上任意一点，则（ ）
A. $C$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为12
C. $|PF_{1}|$的最小值为3
D. $|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|$的最大值为16

答案： 椭圆的定义及几何性质　由题意知，椭圆C的标准方程
　为$\frac{x²}{16}$+讫=1,则a=4;,b==²2$\sqrt{3}$'c=2.对于A,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,故
A不正确;对于B,由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8,
　所以△PF1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=
　8+4=12,故B正确;对于C,|PF11min=a−c=4−2=2,故
C不正确;对于D,|PF1|.|PF2|≤($\frac{|PF|+|PF|}{2}$)2=16,
　当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,即|PF1|.|PF2|的最
　大值为16,故D正确.综上所述，故选BD.

10. 已知函数$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\frac{\pi}{2})$的图象在$y$轴上的截距为$\frac{1}{2}$，$\frac{\pi}{12}$是该函数的最小正零点，则（ ）
A. $\varphi=\frac{\pi}{3}$
B. $f(x)+f^{\prime}(x)\leqslant2$恒成立
C. $f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递减
D. 将$y = f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到的图象关于$y$轴对称

答案： 余弦型函数的图象与性质　对于A,由题意知，f
(0)=
　cos=$\frac{1}{2}$,因为0＜∝$\frac{π}{2}$,所以=$\frac{π}{3}$,故A正确;对于B,因
　为$\frac{π}{12}$为最小正零点，所以$\frac{TTC}{12}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,解得创=2,所以£(x)=
　cos(2x+$\frac{π}{3}$)(题眼),所以f"(x)=−2sin(2.x+$\frac{π}{3}$)(易错:
　求导时忘记变号),所以f(x)+f、(x)=cos(2x+$\frac{π}{3}$)−
　2sin(2.x+$\frac{π}{3}${=$\sqrt{5}$aos(2.x+$\frac{π}{3}$+θ)≤$\sqrt{5}$,故B不正确;对
　于C当E({0,$\frac{π}{3}$)时,2x+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,π){,所以函数f(x)在
　{{0,$\frac{π}{3}$)上单调递减,故C正确;对于D,将函数f(x)的图象
　向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度,得y=cos[2(x−$\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{3}$]−
　cos(2.x−$\frac{π}{3}$)的图象(易错:在函数图象平移变换时,未先将
　自变量x的系数提出，从而错误地认为D正确),其图象不关
　于y轴对称，故D不正确.综上所述，故选AC;