《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

16. (15分)
2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围. 游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次. 若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份.
(Ⅰ)求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
(Ⅱ)用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望.

答案：

古典概型+离散型随机变量的分布列及期望

解:(I)抽出1个20元,0个10元的概率为p

=

$\frac{2}{20}$ $\frac{1}{10}$ ,

抽出2个20元，0个10元或1个10元的概率为P2=

$\frac{C²C+C²C}{C}$ = $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$ (提醒:在讨论事件类型时注意考虑

周全)，

故所求概率p=p1+p2= . (6分)

−数学

(II)设抽取一次得分情况为随机变量S,m的取值为2,1,0.

抽取一次得2分:P(S=2)= CC+C2C+CC= C3 $\frac{3}{10}$ ,

抽取一次得1分:P(=1)= $\frac{C²C+CCC+C²C}{C3}$ = $\frac{3}{5}$ ,

抽取一次不计分:P(令=0)= $\frac{C²C}{C3}$ = $\frac{1}{10}$ ,

∴ 抽取两次的得分总和的随机变量X的取值为4，3，2，1，0

(题眼)(关键:根据抽取一次的得分情况确定出X的可能

取值)，

∴ P(X=4)=P(S=2)×P(S=2)= $\frac{9}{100}$ ,

P(X=3)=2×P(m=1)×P(S=2)= $\frac{9}{25}$ ,

P(X=2)=2×P(令=0)×P(令=2)+P(S=1)×P(m=1)= $\frac{21}{50}$ ,

P(X=1)=2×P(=0)×P(令=1)= $\frac{3}{25}$ ,

P(X=0)=P(令=0)×P(m=0)= $\frac{1}{100}$ ,

则X的分布列为

X 4 3 2 1 0

P $\frac{9}{100}$ $\frac{9}{25}$ $\frac{21}{50}$ $\frac{3}{25}$ $\frac{1}{100}$

(提醒:列分布列后注意根据概率和为1进行验证)

∴ E(X)=4× $\frac{9}{100}$ +3× $\frac{9}{25}$ +2× $\frac{21}{50}$ +1× $\frac{3}{25}$ +0× $\frac{1}{100}$ =

$\frac{240}{100}$ =2.4. (15分)

17. (15分)
在四棱锥$M - ABCD$中，已知$AB// CD$，$CD = 2$，$AB = BC = 1$，$AM = CM=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AD\perp AM$.
(Ⅰ)求证：平面$MAC\perp$平面ABCD；
(Ⅱ)若线段MB上存在点E，满足$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{EM}$，且平面ACE与平面ADM的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{70}}{70}$，求实数$\lambda$的值.

答案：

空间中线面间的位置关系+平面与平面的夹角+空间向量的

应用

解:(I)证明:连接AC.

∵ AB=BC=1,∠ABC=60°,

∴ △ABC为正三角形，
∴ AC=1.

∵ AB//CD,
∴ ∠ACD=∠BAC=60°.

又CD=2,
∴ AD²=AC²+CD²−2AC.CD. cos 60°=1+

4−2×1爻2× $\frac{1}{2}$ =3.

:AD²+AC²=CD²,
∴ AD⊥AC(方法:在条件中给出相关

线段长时，往往需利用勾股定理的逆定理证线线垂直).

又AD⊥AM,AM,AC为平面AMC内两条相交直线(提醒:

注意线面垂直判定定理中的条件“相交”)，

∴ AD⊥平面MAC.

又ADC平面ABCD，
∴ 平面MAC⊥平面ABCD. (6分)

(II)取AC中点O,CD中点F，连接MO,OF.

∵ AM=CM,
∴ MO⊥AC.

又由(I)知平面MAC⊥平面ABCD，平面NAC平面

ABCD=AC,

∴ MO⊥平面ABCD(方法:在建立空间直角坐标系时，有时

需先通过证明线面垂直找到两两垂直且交于一点的直线).

又OF⊥AC,

∴ 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则c(o, $\frac{1}{2}$ ,0 { ,A(0,,− $\frac{1}{2}$ ,0),M(0,0, $\frac{3}{2}$ ),D( $\sqrt{3}$ ,− $\frac{1}{2}$ ,o),

B(− $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,0,0 { ,

设E(x,y,N),由 BE=λEM 得 (x+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , y,x)

λ(−x,−y, $\frac{3}{2}$ −x { ,

x=− $\frac{\sqrt{3}}{2(1+)}$ ,

∴ y=0,
∴ E( − $\frac{\sqrt{3}}{2(1+)}$ ,0, $\frac{31}{2(1+a)}$ )(关键:根

{ x= $\frac{31}{2(1+)}$ ,

据向量相等条件求出点E的坐标).

设平面ADM的法向量为m=(x1,y1,21),

m.AD=0, (x1,y1,x1).( $\sqrt{3}$ ,0,0)=0,

则 { m.AM=0 (x,y1,N1).(0, $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ )=0 →

x1=0,

取z1=−1,则m=(0,3,−1).

{ $\frac{1}{2}$ y1+ $\frac{3}{2}$ z1=0,

设平面ACE的法向量为n=(x2,y2,z2), n.CA=0, 天利

则 { n.cE=0 →

(x2,y2,x2).(0,−1,0)=0,

→

{ (x2,y2'x2).(− $\frac{\sqrt{3}}{2(1+)}$ ,− $\frac{1}{2}$ , $\frac{31}{2(1+)}$ { =0

y2=0,

{ − $\sqrt{3}$ x2+3λx2=0, 取22=1,则n=( $\sqrt{3}$ λ,0,1),

由 $\frac{m.n|}{m||n|}$ = $\frac{\sqrt{70}}{70}$ 得 $\frac{1}{\sqrt{10}.\sqrt{3入²+1}}$ = $\frac{\sqrt{70}}{70}$ ,

−数学

化简得3λ²+1=7,

∴ x²=2.又λ>0,
∴ λ=√2. (15分)