《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

9. 已知函数$f(x)=\sin(2x+\frac{3\pi}{4})+\cos(2x+\frac{3\pi}{4})$，则 ( )
A. 函数$f(x-\frac{\pi}{4})$为偶函数
B. 曲线$y = f(x)$图象的对称轴为$x = k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$
C. $f(x)$在区间$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$上单调递增
D. $f(x)$的最小值为$-2$

答案： AC

10. 已知复数$z$，$w$均不为0，则 ( )
A. $z^{2}=|z|^{2}$
B. $\frac{z}{\overline{z}}=\frac{z^{2}}{|z|^{2}}$
C. $\overline{z - w}=\overline{z}-\overline{w}$
D. $|\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}$

答案： BCD

11. 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(\frac{1}{2})\neq0$，若$f(x + y)+f(x)f(y)=4xy$，则 ( )
A. $f(-\frac{1}{2})=0$
B. $f(\frac{1}{2})=-2$
C. 函数$f(x-\frac{1}{2})$是偶函数
D. 函数$f(x+\frac{1}{2})$是减函数

答案： ABD

12. 已知集合$A = \{ - 2,0,2,4\}$，$B = \{x||x - 3|\leq m\}$，若$A\cap B = A$，则$m$的最小值为_______.

答案： 5

13. 已知轴截面为正三角形的圆锥$MM'$的高与球$O$的直径相等，则圆锥$MM'$的体积与球$O$的体积的比值是_______，圆锥$MM'$的表面积与球$O$的表面积的比值是_______.

答案：  $\frac{2}{3}$ 1(答对一空给3分) 圆锥与球的表面积与体积公式 设圆锥$MM'$的底面半径为$r$，球$O$的半径为$R$，则圆锥的母线$l = 2r$，高$h = \sqrt{3}r$. 由题意知$2R = h$，所以$R = \frac{\sqrt{3}}{2}r$(题眼). 设圆锥$MM'$的体积与表面积分别为$V_{1}$，$S_{1}$，球$O$的体积与表面积分别为$V_{2}$，$S_{2}$，则$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\times\pi\times r^{2}\times\sqrt{3}r}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\pi r^{3}}=\frac{2}{3}$，$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\pi rl+\pi r^{2}}{4\pi R^{2}}$(易错：在求圆锥的表面积时易漏掉底面积)$=\frac{3\pi r^{2}}{3\pi r^{2}} = 1$.

14. 以$\max M$表示数集$M$中最大的数. 设$0 ＜ a ＜ b ＜ c ＜ 1$，已知$b\geq2a$或$a + b\leq1$，则$\max\{b - a,c - b,1 - c\}$的最小值为_______.

答案：  $\frac{1}{5}$ 不等式的性质 令$b - a = m$，$c - b = n$，$1 - c = p$，其中$m$，$n$，$p\gt0$，则$\begin{cases}b = 1 - n - p\\a = 1 - m - n - p\end{cases}$(题眼)(关键：利用换元法将代数式的大小关系，转化为字母间的大小关系). 令$M = \max\{b - a,c - b,1 - c\}=\max\{m,n,p\}$，则$\begin{cases}M\geq m\\M\geq n\\M\geq p\end{cases}$，$(*)$. 若$b\geq2a$(提醒：注意题目的条件关键词是“或”，需分类讨论)，即$1 - n - p\geq2(1 - m - n - p)$，即$2m + n + p\geq1$，则由$(*)$得$\begin{cases}2M\geq2m\\M\geq n\\M\geq p\end{cases}$(关键：根据所推出的不等式的特点适当地选用不等式的性质对不等式$(*)$进行变形)，由不等式的性质得$4M\geq2m + n + p\geq1$，所以$M\geq\frac{1}{4}$，当$2m = n = p$时，等号成立；若$a + b\leq1$，则$1 - n - p+1 - m - n - p\leq1$，即$m + 2n + 2p\geq1$，则由$(*)$得$\begin{cases}M\geq m\\2M\geq2n\\2M\geq2p\end{cases}$，由不等式的性质得$5M\geq m + 2n + 2p\geq1$，所以$M\geq\frac{1}{5}$，当$m = 2n = 2p$时，等号成立. 综上可知$\max\{b - a,c - b,1 - c\}$的最小值为$\frac{1}{5}$. 归纳总结 解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而适当选用不等式的性质进行变形，在运用中一定要注意不等式的基本性质3，不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变

15. (13分)
已知函数$f(x)=\ln x+x^{2}+ax + 2$在点$(2,f(2))$处的切线与直线$2x + 3y = 0$垂直.
(Ⅰ)求$a$；
(Ⅱ)求$f(x)$的单调区间和极值.

答案：  导数的几何意义+利用导数研究函数的单调性+导数与函数极值的关系 解：(Ⅰ)$f'(x)=\frac{1}{x}+2x + a$. 由题意知$f'(2)=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}+4 + a=\frac{3}{2}$，所以$a=-3$.(5分) (Ⅱ)$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$. 由(Ⅰ)知$f(x)=\ln x+x^{2}-3x + 2$，$f'(x)=\frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}$. 当$x\in(0,\frac{1}{2})$时，$f'(x)\gt0$； 当$x\in(\frac{1}{2},1)$时，$f'(x)\lt0$； 当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)\gt0$. 所以$f(x)$的单调递增区间是$(0,\frac{1}{2})$，$(1,+\infty)$，单调递减区间是$(\frac{1}{2},1)$.(10分) 当$x = \frac{1}{2}$时，$f(x)$取得极大值$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\ln2$； 当$x = 1$时，$f(x)$取得极小值$f(1)=0$.(13分)