《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

1. 已知复数$z$满足$z(1 + i)=2i$，则$z$在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： 1.A　复数的运算+复数的几何意义　根据题意得复数N=$\frac{2i}{1+i}$=
　$\frac{2i(1−i)}{(1+i)(1−i)}$=$\frac{2(i−i²)}{2}$=1+i,所以复数x在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故选A.

2. 记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{3}=3$，$S_{3}=3$，则$S_{12}=$ ( )
A. 144
B. 120
C. 100
D. 80

答案： 2.B等差数列的通项公式与前n项和　设数列{a，)的公差为d,根据题意得{a3=a1+2d=3,　解得{a1=−1,所以S2=
　　　　　　S3=3a1+3d=3,　　　d=2,
　12a1+$\frac{12×11}{2}$d=−−12+12×11=120,故选B.

3. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma ^{2})$，且$P(2\lt X\leqslant 2.5)=0.36$，则$P(X\gt 1.5)$等于 ( )
A. 0.14
B. 0.62
C. 0.72
D. 0.86

答案： 3.D　正态分布　由题意知P(1.5＜X≤2)=P(2＜X≤2.5)=
　Q.36(题眼),所以P(X＞1.5)=0.36+0.5=0.86,故选D.

4. 双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的焦距为4，则$C$的渐近线方程为 ( )
A. $y=\pm\sqrt{15}x$
B. $y=\pm\sqrt{3}x$
C. $y=\pm\frac{\sqrt{15}}{15}x$
D. $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$

答案： 4.B　双曲线的几何性质　由双曲线C;x²−V=1的焦距为4 b²
　可知c=2,a=1,则b=　$\sqrt{2−a²}$=$\sqrt{3}$,所以C的渐近线方程为y=±$\frac{6}{a}$x=±$\sqrt{3}$x,故选B.

5. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$2b\cos C=a(2 - c)$，且$B=\frac{\pi}{3}$，则$a =$ ( )
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： 5.A余弦定理的推论　因为2bcosC=a(2−c),结合余弦定理的推论可得2b.$\frac{a²+b²−c²}{2ab}$=a(2−c)(提示:角化边),整理得a²+c²−b²=a²c,所以cosB=$\frac{a²+c²−b²}{2ac}$=$\frac{a²c}{2ac}$=$\frac{a}{2}$.又
B=$\frac{π}{3}$,则cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$,所以a=1,故选A.

6. 已知四面体$ABCD$的各顶点都在同一球面上，若$AB = BC = CD = DA = BD = 2\sqrt{3}$，平面$ABD\perp$平面$BCD$，则该球的表面积是 ( )
A. 100$\pi$
B. 40$\pi$
C. 20$\pi$
D. 16$\pi$

答案：
6.C　四面体的外接球+球的表面积　易知该球为四面体
BD中点(提示:三角形重心的性质)，连接ME，易知∠MEN 为二面角A一BD一C的平面角，则四边形MENO为正方形，边长EN=$\frac{1}{3}$EC=1.连接OC,在Rt△ONC中,ON=EN=
　1,NC=2,则OC²=ON²+NC²²=5,即外接球O的半径R=
　$\sqrt{5}$,所以外接球O的表面积S=4πR²=20π,故选C.

7. 已知直线$l:x - ay - 1 = 0$与$\odot C:x^{2}+y^{2}-2x + 4y - 4 = 0$交于$A$，$B$两点，设弦$AB$的中点为$M$，$O$为坐标原点，则$|OM|$的取值范围为 ( )
A. $[3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}]$
B. $[\sqrt{3}-1,\sqrt{3}+1]$
C. $[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$
D. $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$

答案： 7.D直线与圆的位置关系　由圆C的一般方程整理得到标准
　　　　　　　　　　　　　　　　　方程为(x−1)²+(y+2)²=9,可得圆心坐标为(1,−2),半径
　　　　　　　　　　　　　　　　　r=3.直线l:x−ay−1=0恒过点(1,0)且斜率不为0.设
A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与圆的方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　{(x−1)²+(y+2)²=9,消x整理得(a²+1)y²+4y−5=0,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　x−ay−1=0,
　　　　　　　　　　　　　　　　　显然△＞0,则y1+y2=$\frac{−4}{a²+1}$,求出点M($\frac{(a−1)²}{a²+1}$,$\frac{−2}{a²+1}${,
　　　　　　　　　　　　　　　　　由两点之间距离公式得到|OM|²=$\frac{(a−1)+4}{(a²+1)²}$=
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\frac{a−4a²+6a²−4a+1+4}{(a²+1)²}$=$\frac{(a²+1)²−4a²+4a²−4a+4}{(a²+1)²}$=
　　　　　　　　　　　　　　　　　1+$\frac{−4a(a²+1)+4(a²+1)}{(a²+1)²}$=1+$\frac{−4a+4}{a²+1}$,令t=a−1,t∈R,
　　　　　　　　　　　　　　　　　则|OM|²=1−$\frac{4t}{t²+2t+2}$,当t=0,即a=1时,|OM|²=1,即
　　　　　　　　　　　　　　　　　|OM|=1;当t≠0,即a≠1时,|OVI|²=1−　　4　　，根据对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　t+2+$\frac{2}{t}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　勾函数的性质可知t+2+$\frac{2}{t}$∈(−∞,2−2$\sqrt{2}$]U[2+2$\sqrt{2}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　+∞),所以|OM|²∈[3−2$\sqrt{2}$,1)U(1,3+2$\sqrt{2}$),所以|OM|∈
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{2}$−1,1)U(1,$\sqrt{2}$+1].综上，|OM|的取值范围为[$\sqrt{2}$−1,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\sqrt{2}$+1],故选D.

8. 已知函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且$(x + y)\cdot f(x + y)=xyf(x)f(y)$，$f(1)=e$，记$a = f(\frac{1}{2})$，$b = f(2)$，$c = f(3)$，则 ( )
A. $a\lt b\lt c$
B. $b\lt a\lt c$
C. $a\lt c\lt b$
D. $c\lt b\lt a$

答案： 8.A抽象函数值的大小比较
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　法一:根据已知条件直接赋值得到f($\frac{1}{2}${,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　值→a,b,c→直接判断大小关系;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法二:已知条件→构造函数g(x)=xf(x)　　g
(1)=e
　　　　　　　　　　　　　　　　　　取g(x)=e²→f(x)→f($\frac{1}{2}$),f
(2),,f
(3)的值→a,,b,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　c→判断大小关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　解法−:令x=y,得2xf(2x)=x²f²(x)≥0,则f(x)≥0,令
　　　　　　　　　　　　　　　　　x=y=$\frac{1}{2}$(提示:直接赋值),得a=f($\frac{1}{2}$)=2$\sqrt{e}$(舍负)，令
x=y=1,得b=f
(2)=$\frac{e2}{2}$,令x=1,y=2,得c=f
(3)=$\frac{e3}{3}$,由于2$\sqrt{e}$＜$\frac{e2}{2}$＜$\frac{e3}{3}$,故a＜b＜c,故选A.
　解法二:由(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),可令g(x)=
　xf(x)(提示:构造函数),于是g(x+y)=g(x)g(y).又g
(1)=1×f
(1)=e,所以可取g(x)=ex,则f(x)=$\frac{e'}{x}$,故a=
　f($\frac{1}{2}$)=2,b=f
(2)=$\frac{e2}{2}$,c=f
(3)=$\frac{3}{3}$.又2$\sqrt{e}$＜$\frac{2}{2}$＜$\frac{3}{3}$,故a＜b＜c,故选A.

9. 现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如表(满分100分). 设事件$M$表示“从甲机构测评分类中任取3个，至多1个超过平均分”，事件$N$表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”. 下列说法正确的是 ( )

A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5
D. 事件$M$，$N$互为对立事件

答案： 9.BD样本的平均数+方差+百分位数+对立事件
　通解:对于A，由已知数据知甲、乙机构测评分数的平均分均为93，故A错误;对于B，由已知数据可得甲机构测评分数的方差s=$\frac{(−3)²+5²+(−3)²+(−1)²+2²}{5}$=9.6，乙机构测评分数的方差s2=$\frac{0²+2²+(−1)²+(−2)²+1²}{5}$=2,故B正确;对于C,乙机构测评分数的第一四分位数应该为92，故C错误;对于D,因为甲机构测评分数数据中超过平均分的只有2项，分别为95和98,所以事件M,N互为对立事件(技巧:分析题干，无需计算事件M和事件N的概率)，故D正确，故选BD.快解:由计算可知A错误;对于C选项，5个数据的第一四分位数为从小到大排列的第二个数据，不可能为小数，C错误，根据多选题排二选二，故选BD.