《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10. 在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 2$，$AA_{1}=AD = 1$，$E$为$AB$的中点，则( )
A. $A_{1}B\perp B_{1}C$
B. $A_{1}D//$平面$EB_{1}C$
C. 点$D$到直线$A_{1}B$的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D. 点$D$到平面$EB_{1}C$的距离为$\sqrt{3}$

答案：
ABC

11. 通信工程中常用$n$元数组$(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n})$表示信息，其中$a_{i}=0$或$1(i,n\in\mathbf{N}^{*},1\leqslant i\leqslant n)$。设$u=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n})$，$v=(b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n})$，$d(u,v)$表示$u$和$v$中相对应的元素($a_{i}$对应$b_{i}$，$i = 1,2,\cdots,n$)不同的个数，则下列结论正确的是( )
A. 若$u=(0,0,0,0,0)$，则存在5个5元数组$v$，使得$d(u,v)=1$
B. 若$u=(1,1,1,1,1)$，则存在12个5元数组$v$，使得$d(u,v)=3$
C. 若$n$元数组$w=\underbrace{(0,0,\cdots,0)}_{n个0}$，则$d(u,w)+d(v,w)\geqslant d(u,v)$
D. 若$n$元数组$w=\underbrace{(1,1,\cdots,1)}_{n个1}$，则$d(u,w)+d(v,w)\geqslant d(u,v)$

答案： ACD

12. 在复平面内，复数$z$对应的点的坐标是$(2,1)$，则$i\cdot z =$_______。

答案： $-1 + 2i$

13. 底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为$\sqrt{3}$的圆锥，所得圆台的侧面积为_______。

答案： $6\pi$

14. 在平面直角坐标系$xOy$中，整点$P$(横坐标与纵坐标均为整数)在第一象限，直线$PA$，$PB$与$\odot C:(x + 2)^{2}+y^{2}=4$分别切于$A$，$B$两点，与$y$轴分别交于$M$，$N$两点，则使得$\triangle PMN$周长为$2\sqrt{21}$的所有点$P$的坐标是_______。

答案：
（1,4）或（2,3）

15. (13分)
已知函数$f(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{4})(0＜\omega＜3)$，$\frac{\pi}{8}$是$f(x)$的零点。
(Ⅰ)求$\omega$的值；
(Ⅱ)求函数$y = f(x-\frac{\pi}{8})+f(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8})$的值域。

答案： (Ⅰ)因为$\frac{\pi}{8}$是$f(x)=\sin(\omega x - \frac{\pi}{4})$的零点，所以$f(\frac{\pi}{8})=\sin(\frac{\pi}{8}\omega-\frac{\pi}{4}) = 0$，则$\frac{\pi}{8}\omega-\frac{\pi}{4}=k\pi$，$k\in Z$，解得$\omega = 8k + 2$，$k\in Z$。又因为$0\lt\omega\lt3$，所以$k = 0$，$\omega = 2$。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{4})$，则$y = f(x-\frac{\pi}{8})+f(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8})=\sin\left[2(x - \frac{\pi}{8})-\frac{\pi}{4}\right]+\sin\left[2(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8})-\frac{\pi}{4}\right]=\sin(2x-\frac{\pi}{2})+\sin x=-\cos2x+\sin x=-(1 - 2\sin^{2}x)+\sin x=2\sin^{2}x+\sin x - 1$。令$t=\sin x$，则$t\in[-1,1]$，$y = 2t^{2}+t - 1$，其对称轴为$t = -\frac{1}{4}$。当$t = -\frac{1}{4}$时，$y_{min}=2\times(-\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{4}-1=-\frac{9}{8}$；当$t = 1$时，$y_{max}=2\times1^{2}+1 - 1 = 2$。所以函数$y = f(x-\frac{\pi}{8})+f(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8})$的值域为$\left[-\frac{9}{8},2\right]$。