《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点。已知二次函数$f(x)$有两个不相等的实根$b$，$c$，其中$c ＞ b$。在函数$f(x)$图象上横坐标为$x_{1}$的点处作曲线$y = f(x)$的切线，切线与$x$轴交点的横坐标为$x_{2}$；用$x_{2}$代替$x_{1}$，重复以上的过程得到$x_{3}$；一直下去，得到数列$\{ x_{n}\}$。记$a_{n}=\ln\frac{x_{n}-b}{x_{n}-c}$，且$a_{1}=1$，$x_{n}＞c$，下列说法正确的是 ( )
A. $x_{1}=\frac{ec - b}{e - 1}$(其中$\ln e = 1$)
B. 数列$\{ a_{n}\}$是递减数列
C. $a_{6}=\frac{1}{32}$
D. 数列$\{ a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和$S_{n}=2^{n}-2^{1 - n}+1$

答案： ACD

12. 将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位数比乙组的中位数小1，则不同的平分方法共有_______种。

答案： 56

13. 如图，圆$A:(x + 2)^{2}+y^{2}=1$，圆$B:(x - 2)^{2}+y^{2}=4$，直线$3x + 4y + t = 0$上存在点$P$，过点$P$向圆$A$引两条切线$PC$和$PD$，切点是$C$和$D$，再过点$P$向圆$B$引两条切线$PE$和$PF$，切点是$E$和$F$，若$\angle CPD=\angle EPF$，则实数$t$的取值范围为_______。

答案： $[-15,25]$

14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)。如图，已知锐角$\triangle ABC$外接圆的半径为2，且三条圆弧沿$\triangle ABC$三边翻折后交于点$P$。若$AB = 3$，则$\sin\angle PAC =$_______；若$AC:AB:BC = 6:5:4$，则$PA + PB + PC$的值为_______。

答案： $\frac{3}{4}$；$\frac{15\sqrt{7}}{2}$

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
已知椭圆$C_{1}$，抛物线$C_{2}$的焦点均在$x$轴上，$C_{1}$的中心和$C_{2}$的顶点均为坐标原点$O$，从$C_{1}$，$C_{2}$上分别取两个点，将其坐标记录于表中：

（Ⅰ）求$C_{1}$和$C_{2}$的标准方程；
（Ⅱ）若$C_{1}$和$C_{2}$交于不同的两点$A$，$B$，求$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$的值。

答案：  椭圆的标准方程 + 抛物线的标准方程 + 平面向量的数量积 解：(Ⅰ)设抛物线 \(C_{2}\) 的标准方程为 \(y^{2}=2px(p\gt0)\)，则 \(2p=\frac{y^{2}}{x}\). 因为 \(\frac{2^{2}}{1}=\frac{(2\sqrt{2})^{2}}{2}=4\)，所以点 \((1,2)\)，\((2,2\sqrt{2})\) 在抛物线 \(C_{2}\) 上，且 \(2p = 4\)，解得 \(p = 2\)，所以抛物线 \(C_{2}\) 的标准方程为 \(y^{2}=4x\). 设椭圆 \(C_{1}\) 的标准方程为 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)\)，将点 \((\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\((\sqrt{2},0)\) 的坐标分别代入椭圆 \(C_{1}\) 的标准方程 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)\) 中，得 \(\begin{cases}\frac{1}{2a^{2}}+\frac{3}{4b^{2}}=1\\\frac{2}{a^{2}}=1\end{cases}\)，解得 \(a^{2}=2\)，\(b^{2}=1\)，则椭圆 \(C_{1}\) 的标准方程为 \(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\). (Ⅱ)根据对称性，可设 \(A\)，\(B\) 两点坐标分别为 \((x_{0},y_{0})\)，\((x_{0},-y_{0})\)，联立 \(\begin{cases}y^{2}=4x\\x^{2}+2y^{2}=2\end{cases}\)，消 \(y\) 得 \(x^{2}+8x - 2 = 0\)，解得 \(x_{1}=-4 - 3\sqrt{2}\)，\(x_{2}=-4 + 3\sqrt{2}\). 因为 \(x=\frac{y^{2}}{4}\geqslant0\)，所以 \(x_{0}=3\sqrt{2}-4\)，所以 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=x_{0}^{2}-4x_{0}=(3\sqrt{2}-4)^{2}-4(3\sqrt{2}-4)=50 - 36\sqrt{2}\).