《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10. 在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$P$为线段$BD_{1}$上的动点，直线$m$为平面$A_{1}DP$与平面$B_{1}CP$的交线，则( )

A. 存在点$P$，使得$BB_{1} //$平面$A_{1}DP$
B. 存在点$P$，使得$B_{1}P \perp$平面$A_{1}DP$
C. 当点$P$不是$BD_{1}$的中点时，都有$m //$平面$A_{1}B_{1}CD$
D. 当点$P$不是$BD_{1}$的中点时，都有$m \perp$平面$ABD_{1}$

答案： ACD

11. 设等比数列$\{ a_{n} \}$的公比为$q$，前$n$项积为$T_{n}$，下列说法正确的是( )
A. 若$T_{8} = T_{12}$，则$a_{10}a_{11} = 1$
B. 若$T_{8} = T_{12}$，则$T_{20} = 1$
C. 若$a_{1} = 1024$，且$T_{10}$为数列$\{ T_{n} \}$的唯一最大项，则$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{9}} \lt q \lt \frac{1}{2}$
D. 若$a_{1} \gt 0$，且$T_{10} \gt T_{11} \gt T_{9}$，则使得$T_{n} \gt 1$成立的$n$的最大值为20

答案： BCD

12. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的增函数，且$f(2) = 1$，则不等式$f(x) \gt 5 - 2x$的解集为_______.

答案：  $(2,+\infty)$ 

13. 已知$A(4,1)$，$B(2,2)$，$C(0,3)$，若在圆$x^{2} + y^{2} = r^{2}(r \gt 0)$上存在点$P$满足$|PA|^{2} + |PB|^{2} + |PC|^{2} = 13$，则实数$r$的取值范围是_______.

答案： $[2\sqrt{2} - 1,2\sqrt{2} + 1]$

14. 已知正四棱锥$P - ABCD$的顶点均在球$O$的表面上. 若正四棱锥的体积为1，则球$O$体积的最小值为_______.

答案： $\frac{27}{16}\pi$ 

15. (13分)
如图1，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 2\sqrt{3}$，将$\triangle ABD$沿矩形的对角线$BD$进行翻折，得到如图2所示的三棱锥$A - BCD$.

(Ⅰ)当$AB \perp CD$时，求$AC$的长;
(Ⅱ)当平面$ABD \perp$平面$BCD$时，求平面$ABC$和平面$ACD$的夹角的余弦值.

答案： 线面垂直的判定定理与性质定理 + 平面与平面夹角的余弦值 解：(Ⅰ)由$AB\perp CD$，$BC\perp CD$，且$AB\cap BC = B$，$AB$，$BC\subset$平面$ABC$， 可得$CD\perp$平面$ABC$（题眼）（方法：线面垂直的判定定理）。 又$AC\subset$平面$ABC$，所以$AC\perp CD$。 在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 2\sqrt{3}$，$CD = AB = 2$。 在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理， 得$AC = \sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{2}$。 （5 分） (Ⅱ)如图，过点$A$作$AO\perp BD$于点$O$，过点$C$作$CE\perp BD$于点$E$，易知$AO = \sqrt{3}$，$OB = 1$，$OD = 3$，$CE = \sqrt{3}$，$BE = 3$，$OE = 2$， 由平面$ABD\perp$平面$BCD$，平面$ABD\cap$平面$BCD = BD$，$AO\subset$平面$ABD$，可得$AO\perp$平面$BCD$。 如图，以$O$为坐标原点，在平面$BCD$中，过点$O$作$BD$的垂线为$x$轴，$OD$，$OA$所在直线分别为$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系， 则$A(0,0,\sqrt{3})$，$B(0,-1,0)$，$C(\sqrt{3},2,0)$，$D(0,3,0)$， 则$\overrightarrow{AB} = (0,-1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC} = (\sqrt{3},3,0)$，$\overrightarrow{CD} = (-\sqrt{3},1,0)$，$\overrightarrow{AD} = (0,3,-\sqrt{3})$。 设平面$ABC$的法向量$\boldsymbol{m} = (x_{1},y_{1},z_{1})$， 则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB} = -y_{1} - \sqrt{3}z_{1} = 0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}x_{1} + 3y_{1} = 0\end{cases}$， 令$z_{1} = 1$，得$y_{1} = -\sqrt{3}$，$x_{1} = 3$，所以$\boldsymbol{m} = (3,-\sqrt{3},1)$； 设平面$ACD$的法向量$\boldsymbol{n} = (x_{2},y_{2},z_{2})$， 则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CD} = -\sqrt{3}x_{2} + y_{2} = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AD} = 3y_{2} - \sqrt{3}z_{2} = 0\end{cases}$， 令$x_{2} = 1$，得$y_{2} = \sqrt{3}$，$z_{2} = 3$， 所以$\boldsymbol{n} = (1,\sqrt{3},3)$， 从而$|\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|} = \frac{3}{\sqrt{13}\times\sqrt{13}} = \frac{3}{13}$（方法：空间向量的夹角公式）， 即平面$ABC$和平面$ACD$的夹角的余弦值为$\frac{3}{13}$。 （13 分）