《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

18. (17分)
已知椭圆$C:\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的离心率为$\frac{1}{2}$，$A$为上顶点，$B$为左顶点，$F$为上焦点，且$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=5$.
(Ⅰ)求$C$的方程；
(Ⅱ)设过点$(3,2)$的直线交$C$于$M$，$N$两点，过$M$且垂直于$y$轴的直线与直线$AN$交于点$Q$，证明：线段$MQ$的中点在定直线上.

答案： 椭圆的标准方程+直线与椭圆的位置关系 【思维导图】(Ⅰ)已知条件$\rightarrow$结合向量的数量积、几何性质得到关于$a,b,c$的表达式$\xrightarrow{联立}$得解. (Ⅱ)设过点$(3,2)$的直线为$y = k(x - 3)+2\rightarrow$与椭圆$C$的方程联立$\xrightarrow{设M,N两点坐标}$得韦达定理表达式，直线$AN$的方程$\xrightarrow{与直线y = y_{1}联立}$$Q$点坐标$\rightarrow MQ$的中点$R$的坐标$\rightarrow$验证直线$AR$的斜率为定值$\rightarrow$点$R$在定直线上$\rightarrow$得证. 解：(Ⅰ)根据题意可知$A(0,a)$，$B(-b,0)$. 设$C$的半焦距为$c$，则$F(0,c)$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，则$a = 2c$， 所以$\overrightarrow{BA}=(b,a)=(b,2c)$，$\overrightarrow{BF}=(b,c)$， 故$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=b^{2}+2c^{2}=5$(题眼).(3 分) 又由椭圆的几何性质可知$a^{2}=4c^{2}=b^{2}+c^{2}$， 即$3c^{2}=b^{2}$， 故$c^{2}=1$，$a^{2}=4c^{2}=4$，$b^{2}=3c^{2}=3$， 所以$C$的方程为$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$.(6 分) (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知$A(0,2)$，设过点$(3,2)$的直线为$y = k(x - 3)+2$，与$C$的方程联立有$(4 + 3k^{2})x^{2}+6k(2 - 3k)x+27k^{2}-36k = 0$，$\Delta>0$. 设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$， 则$x_{1}+x_{2}=\frac{6k(3k - 2)}{4 + 3k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{27k^{2}-36k}{4 + 3k^{2}}$，(9 分) 直线$AN$的方程为$(y_{2}-2)x - x_{2}y+2x_{2}=0$， 联立直线$AN$与直线$y = y_{1}$的方程可得$Q(\frac{x_{2}y_{1}-2x_{2}}{y_{2}-2},y_{1})$(关键：联立求出$Q$点坐标，从而得出$MQ$中点的坐标).(12 分) 记线段$MQ$的中点为$R(x_{R},y_{R})$， 则$R(\frac{2x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})}{2(x_{2}-3)},y_{1})$，(13 分) 故直线$AR$的斜率为$\frac{y_{R}-2}{x_{R}}=\frac{2(y_{1}-2)(x_{2}-3)}{2x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})}=\frac{2k[x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9]}{2x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})}=-2$(题眼)，(16 分) 故线段$MQ$的中点$R$在直线$y=-2x + 2$上.(17 分) 

19. (17分)
已知函数$f(x)=x\ln x+ax + 1$的定义域为区间$D_{1}$，值域为区间$D_{2}$，若$D_{2}\subseteq D_{1}$，则称$f(x)$是$D_{1}$的缩域函数.
(Ⅰ)若$f(x)$是区间$[\frac{1}{e},e]$的缩域函数，求$a$的取值范围；
(Ⅱ)设$\alpha$，$\beta$为正数，且$\alpha＜\beta$，若$f(x)$是区间$[\alpha,\beta]$的缩域函数，证明：
(ⅰ)当$\beta＜\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[\alpha,\beta]$上单调递减；
(ⅱ)$\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\beta}＞3$.

答案： 新定义+导数在研究函数中的应用 【思维导图】(Ⅰ)缩域函数定义$\rightarrow\frac{1}{e}\leq f(\frac{1}{e})\leq e$，$\frac{1}{e}\leq f(e)\leq e\rightarrow2 - e\leq a\leq-\frac{1}{e}\rightarrow f(x)$在$(\frac{1}{e},e)$上的单调性$\rightarrow f(x)\geq\frac{1}{e}\rightarrow a$的取值范围. (Ⅱ)(ⅰ)缩域函数定义$\rightarrow f(\beta)\leq\beta\rightarrow$当$\beta<\frac{1}{2}$时，$\beta1\rightarrow$记$\frac{1}{\alpha}=x_{1}>1\xrightarrow{构造函数}x_{1}+x_{2}>2\rightarrow g(x_{1})=g(x_{2})\leq g(\frac{1}{\beta})\rightarrow x_{2}\leq\frac{1}{\beta}2\rightarrow\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\beta}>3$. 解：(Ⅰ)若$f(x)$是区间$[\frac{1}{e},e]$的缩域函数， 则$\frac{1}{e}\leq f(\frac{1}{e})\leq e$，$\frac{1}{e}\leq f(e)\leq e$(关键：利用端点值域，缩小参数的范围)， 即$\frac{1}{e}\leq-\frac{1}{e}+\frac{a}{e}+1\leq e$，$\frac{1}{e}\leq e+ae + 1\leq e$， 故$2 - e\leq a\leq-\frac{1}{e}$(题眼).(2 分) 由$f'(x)=\ln x + 1 + a$，得$f'(\frac{1}{e})=a<0$，$f'(e)=2 + a>0$， 令$f'(x)=0$，则$x = e^{-1 - a}$， 当$x\in(\frac{1}{e},e^{-1 - a})$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减； 当$x\in(e^{-1 - a},e)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增， 所以$f(x)\geq f(e^{-1 - a})=-e^{-1 - a}+1\geq\frac{1}{e}$， 即$a\geq-\ln(e - 1)$.(5 分) 综上，$a$的取值范围是$[-\ln(e - 1),-\frac{1}{e}]$.(6 分) (Ⅱ)证明：(ⅰ)当$\beta<\frac{1}{2}$时，若$f(x)$是区间$[\alpha,\beta]$的缩域函数，则$f(\beta)\leq\beta$， 即$\beta\ln\beta+a\beta + 1\leq\beta$，进一步有$\ln\beta+a+\frac{1}{\beta}-1\leq0$，(8 分) 故当$\beta<\frac{1}{2}$时，$\ln\beta+a + 1<\ln\beta+a+\frac{1}{\beta}-1\leq0$， 即$\ln\beta<-1 - a$，$\beta0$(题眼)(方法：构造函数)， 则$g'(x)=-1+\frac{1}{x}$， 当$0 < x < 1$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增； 当$x>1$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减. 因为$0 < \alpha < \beta$，即$\frac{1}{\alpha}>\frac{1}{\beta}$， 又$g(\frac{1}{\alpha})\leq g(\frac{1}{\beta})$，故$\frac{1}{\alpha}>1$.(13 分) 记$\frac{1}{\alpha}=x_{1}>1$，设$x_{1}\neq x_{2}$，且$g(x_{1})=g(x_{2})$， 则由上可知$0 < x_{2} < 1$，故$2 - x_{2}>1$. 设$\varphi(x)=g(x)-g(2 - x)=\ln x-\ln(2 - x)-2x + 2$， 则$\varphi'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2 - x}-2=\frac{2(x - 1)^{2}}{x(2 - x)}$， 当$0 < x < 1$时，$\varphi'(x)>0$，$\varphi(x)$单调递增， 故$\varphi(x_{2})=g(x_{2})-g(2 - x_{2})=g(x_{1})-g(2 - x_{2})<\varphi(1)=0$， 即$g(x_{1})2 - x_{2}$，即$x_{1}+x_{2}>2$.(15 分) 由于$g(x_{1})=g(x_{2})\leq g(\frac{1}{\beta})$， 故$x_{2}\leq\frac{1}{\beta}2$. 又因为$\frac{1}{\alpha}>1$，故$\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\beta}>3$.(17 分)