《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

16. (15分)
如图,在四棱锥$E - ABCD$中,$EC\perp$平面$ABCD$,$DC\perp BC$,$AB// DC$,$DC = 2AB = 2$,$CB = CE$,点$F$在棱$BE$上,且$BF=\frac{1}{2}FE$.
（Ⅰ）证明:$DE//$平面$AFC$;
（Ⅱ）当二面角$F - AC - D$为$135^{\circ}$时,求$CE$.

答案：
16. 空间中直线与平面间的位置关系 + 二面角 + 空间向量的应用 【思维导图】(Ⅰ)以$C$为坐标原点建立空间直角坐标系$\xrightarrow{设CB = m}\overrightarrow{DE}$与平面$AFC$的一个法向量$n_{1}\xrightarrow{\overrightarrow{DE}\cdot n_{1}=0}得证.$ (Ⅱ)平面$ACD$的一个法向量$n_{2}\xrightarrow{二面角的大小}列出方程\xrightarrow{CE}.$ 解：(Ⅰ)证明：如图，以$C$为坐标原点，$CB,CE,CD$所在直线分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系(关键：寻求三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系). 设$CB = m$，则$C(0,0,0),A(m,0,1),D(0,0,2),E(0,m,0),F(\frac{2}{3}m,\frac{1}{3}m,0)$(题眼)， 则$\overrightarrow{CA}=(m,0,1),\overrightarrow{CF}=(\frac{2}{3}m,\frac{1}{3}m,0),\overrightarrow{DE}=(0,m,-2)$， 设平面$AFC$的法向量为$n_{1}=(x,y,z)$， 则$\begin{cases}\overrightarrow{CA}\cdot n_{1}=0\\\overrightarrow{CF}\cdot n_{1}=0\end{cases}$， 即$\begin{cases}mx + z = 0\\\frac{2}{3}mx+\frac{1}{3}my = 0\end{cases}$，令$x = 1$，得$n_{1}=(1,-2,-m)$， $\therefore\overrightarrow{DE}\cdot n_{1}=-2m + 2m = 0$(方法：用向量法证线面平行，即证平面外直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直)， $\therefore DE//$平面$AFC$.(8 分) (Ⅱ)显然平面$ACD$的一个法向量$n_{2}=(0,1,0)$， $\therefore\frac{|n_{1}\cdot n_{2}|}{|n_{1}||n_{2}|}=\frac{2}{\sqrt{5 + m^{2}}\cdot1}=|\cos135^{\circ}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 解得$m=\sqrt{3}$(舍负)， $\therefore CE=\sqrt{3}$.(15 分) 

17. (15分)
我国无人机产业发展迅猛,在全球具有领先优势,已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片,并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. 某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验,消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验,已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为$\frac{4}{5}$,每次投弹是否击中目标相互独立. 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为$\frac{1}{2}$,击中目标两次起火点被扑灭的概率为$\frac{2}{3}$,击中目标三次起火点必定被扑灭.
（Ⅰ）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望;
（Ⅱ）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

答案： 二项分布 + 离散型随机变量的分布列及数学期望 + 全概率公式 解：(Ⅰ)设起火点被无人机击中次数为$X$， 则$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$(题眼)， 则$P(X = 0)=(\frac{1}{5})^{3}=\frac{1}{125}$， $P(X = 1)=C_{3}^{1}\cdot\frac{4}{5}\cdot(\frac{1}{5})^{2}=\frac{12}{125}$， $P(X = 2)=C_{3}^{2}\cdot(\frac{4}{5})^{2}\times\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$， $P(X = 3)=(\frac{4}{5})^{3}=\frac{64}{125}$， $\therefore X$的分布列如表 | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |----|----|----|----|----| | $P$ | $\frac{1}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{64}{125}$ | $\because X\sim B(3,\frac{4}{5})$(小结：判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行$n$次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布)， $\therefore E(X)=3\times\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$.(7 分) (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得，击中一次被扑灭的概率$p_{1}=\frac{12}{125}\times\frac{1}{2}=\frac{6}{125}$， 击中两次被扑灭的概率$p_{2}=\frac{48}{125}\times\frac{2}{3}=\frac{32}{125}$， 击中三次被扑灭的概率$p_{3}=\frac{64}{125}$， 则起火点被无人机击中且被扑灭的概率$p=\frac{6}{125}+\frac{32}{125}+\frac{64}{125}=\frac{102}{125}$.(15 分)