《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

18. (17分)
某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花;另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花,规定印着字的面为正面，印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面,则获得200元礼券;方案二,不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷,如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二,如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券.
(I)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率;
(II)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率;
(III)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望,并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.

答案： 18.全概率公式+条件概率公式+方案选择　　解:设“第一次抽到正常硬币”为事件A，“抽到双面都印着字　　　　　　　件B,“抽到双面都印着花的硬币”为事件C,“第　面向上”为事件M，“第二次投掷出正面向上”　　　　　　　选择方案一进行第三次投掷并正面向上"为事件　　　　　　　案二进行第三次投掷并正面向上”为事件N3，　　(I)由全概率公式可得，　　P(M1)=P(M|A).P(A)+P(M|B).P(B)+　　　　　　P(M1|C).P(C)(关键:利用全概率公式)　　　　　=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×1+$\frac{1}{6}$×0 　　　　　=$\frac{7}{12}$,所以第一次投掷后,向上的面为正面的概率为　　　(2分)　(II)连续两次都是正面的概率P(M1M2)=P(M1M2|A)P(A)+P(M1M2|B)P(B)+P(M1M2|C)P(C)(关键:正确利用全概率公式)　　　　=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×1+$\frac{1}{6}$×0 　　　　=$\frac{11}{24}$,　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)所以P(A|M1M2)=$\frac{P(MMA)}{P(MM)}$=$\frac{P(MM|A)P(A)}{P(MM)}$=$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$$\frac{222}{11}$=$\frac{3}{11}$,　　$\frac{11}{24}$所以该硬币是正常硬币的概率为　　　　　　　　(6分)　(III)(i)若选择方案一:设第三次投掷后最终获得的礼券为X元，“第三次投掷后正面向上”为事件S，则P(M3|MM2)=$\frac{P(MMM)}{P(MM)}$(关键:利用条件概率公式)=P(M1M2M|A)P(A)+P(M1PM(2MM1M|B2))P(B)+P(M1MM3|C)P(C)　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{3}$　　　$\frac{1}{6}$=$\frac{22223116}{11}$=$\frac{19}{22}$,　　　　　(8分)　　　　　　　$\frac{11}{24}$所以P(S)=$\frac{19}{22}$,1−P(S)=$\frac{3}{22}$,E(X)=$\frac{19}{22}$×200+$\frac{3}{22}$×100=$\frac{4100}{22}$=$\frac{2050}{11}$.　　　　　　　　　　　　　　(10分)　(ii)若选择方案二，设第三次投掷后最终获得的礼券为Y元，“第三次掷出后正面向上”为事件T.　①如果第一次抽到的是正常硬币，设“第二次抽到正常硬币”为事件HA，“第二次抽到两面都是字的硬币"为事件HB，“第二次抽到两面都是花的硬币”为事件Hc.则P1=P(M1M2|A).P(A).[P(N3|HA).P(HA)+P(N3|HB).P(HB)+P(N|HC).P(Hc)]　=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×($\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$×1+$\frac{1}{5}$xo)=$\frac{3}{40}$;　　　　　　　　　　　　　　　　　天私分②如果第一次抽到的是两面都是字的硬币，设“第二次抽二到正常硬币”为事件KA，“第二次抽到两面都是字的硬币”为事件KB，“第二次抽到两面都是花的硬币”为事件Kc.则P2=P(MM2|B).P(B).[P(N3|KA).P(KA)+P(N3|KB).P(KB)+P(N|Kc).P(Kc)]　=$\frac{1}{3}$×1×($\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$×1+$\frac{1}{5}$×O{=$\frac{1}{6}$,所以P(M1M2N3)=P1+P2=$\frac{3}{40}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{29}{120}$,29 　　P(N|M1M2)=$\frac{P(MMN)}{P(MM)}$=$\frac{120}{11}$=$\frac{29}{55}$,　　　　(14分)　　　　　　　　　　　　　　-24 　　所以P(T)=$\frac{29}{55}$,1−P(T)=$\frac{26}{55}$,E(Y)=$\frac{29}{55}$×300+$\frac{26}{55}$×100=$\frac{11300}{55}$=$\frac{2260}{11}$.　　　　　　　　　　　　　　(16分)　　综上,由(i),(ii)可得,E(X)＜E(Y),　　所以选择方案二更合适.　　　　　　　　　　　　　(17分)

19. (17分)
已知函数f(x)=eˣ−ax²(a＞0),
(I)若函数f(x)有3个不同的零点,求a的取值范围;
(II)已知f'(x)为函数f(x)的导函数,f'(x)在R上有极小值0,对于某点P(x₀,f(x₀)),f(x)
在P点处的切线方程为y=g(x),若对于∀x∈R,都有(x−x₀)[f(x)−g(x)]≥0,则称P为好点.
(i)求a的值;
(ii)求所有的好点.

答案： 19.新定义+导数的应用　　1:[思维导图](I)已知条件求导f'(x)x≤0f(x)的单调1;1 　　1　$\frac{f(0)=1}{当x→−oo时，f(x)→−oo}$f(x)在区间(−∞,0]上存在{1 　　1{唯一零点x＞0a=$\frac{e"}{x²}$存在2个根构造新求函导数F(x)1 :1F(x)的单调性→a的取值范围.　　(II)(i)令(x求)=导∮'(x)'(x)→f'(x)的