《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

16. （15 分）
据新华社北京 2 月 26 日报道，中国航天全年预计实施 100 次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近 70 次宇航发射任务，发射 290 余个航天器，实施一系列重大工程任务. 由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

参考数据：$\overline{x}=86$，$\overline{y}=112$，$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}y_{i}=82743$，$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}^{2}=62680$
（Ⅰ）建立 y 关于 x 的回归模型$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，根据所给数据及回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（$\hat{b}$精确到 0.1，$\hat{a}$精确到 1）；
（Ⅱ）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取 100 台进行等距离飞行测试，对其中 60 台进行飞行前保养，测试结束后，有 20 台报废，其中保养过的推进器占比 30%，请根据统计数据完成 2×2 列联表，并根据小概率值$\alpha = 0.01$的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

附：回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$，$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，$n = a + b + c + d$；

答案： 回归直线方程 + 独立性检验 解：(Ⅰ)由题意得 \(\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{8}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{8}(x_i-\overline{x})^2}\) \(=\frac{\sum_{i = 1}^{8}x_iy_i-8\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{8}x_i^2-8\overline{x}^2}\)（提示：利用最小二乘估计公式求 \(\hat{b}\)） \(=\frac{82743-8\times86\times112}{62680-8\times86^2}\approx1.6\)， \(\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}\approx - 26\)， 故 \(y\) 关于 \(x\) 的线性回归方程为 \(\hat{y}=1.6x - 26\). (7 分) (Ⅱ)设零假设为 \(H_0\)：是否报废与是否保养无关. 由题意，报废推进器中保养过的共有 \(20\times30\% = 6\)（台），未保养的推进器共有 \(20 - 6 = 14\)（台）. 补充 \(2\times2\) 列联表如下： | | 保养 | 未保养 | 合计 | |----|----|----|----| | 报废 | 6 | 14 | 20 | | 未报废 | 54 | 26 | 80 | | 合计 | 60 | 40 | 100 | (11 分) 则 \(\chi^2=\frac{100\times(6\times26 - 14\times54)^2}{20\times60\times40\times80}=9.375\gt6.635\)（题眼）， (14 分) 根据小概率值 \(\alpha = 0.01\) 的独立性检验，推断 \(H_0\) 不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此推断错误的概率不大于 \(0.01\). (15 分)

17. （15 分）
在三棱锥$P - ABC$中，$PB\perp$平面 ABC，$AB = BC = BP = 2$，点 E 在平面 ABC 内，且满足平面$PAE\perp$平面 PBE，$BA\perp BC$.
（Ⅰ）当$\angle ABE\in[\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{3}]$时，求点 E 的轨迹长度；
（Ⅱ）当二面角$E - PA - B$的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，求三棱锥$E - PCB$的体积.

答案：  空间中直线与平面间的位置关系 + 二面角的余弦值 + 三棱锥的体积公式 + 动点的轨迹长度 【思维导图】(Ⅰ)作 \(BH\perp PE\) 交 \(PE\) 于点 \(H\xrightarrow{面面垂直的性质定理}BH\perp\) 平面 \(PAE\to BH\perp AE\xrightarrow{线面垂直的性质定理}PB\perp AE\to AE\perp\) 平面 \(PBE\to AE\perp BE\xrightarrow{建系,设 E(x,y,0)}\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE}=0\) 点 \(E\) 的轨迹方程 \(\xrightarrow{\angle ABE 的范围}\angle ANE\) 的范围→点 \(E\) 的轨迹长度. (Ⅱ)平面 \(PAE\) 的一个法向量，\(\overrightarrow{BC}\xrightarrow{空间向量夹角公式}\) 点 \(E\) 的坐标 \(\xrightarrow{三棱锥的体积公式}得解. 解：(Ⅰ)作 \(BH\perp PE\) 交 \(PE\) 于点 \(H\)， 因为平面 \(PAE\perp\) 平面 \(PBE\)，且平面 \(PAE\cap\) 平面 \(PBE = PE\)， 所以 \(BH\perp\) 平面 \(PAE\). 又 \(AE\subset\) 平面 \(PAE\)，所以 \(BH\perp AE\). 因为 \(PB\perp\) 平面 \(ABC\)，且 \(AE\subset\) 平面 \(ABC\)， 所以 \(PB\perp AE\). 因为 \(BH\perp AE,PB\perp AE,PB,BH\subset\) 平面 \(PBE,PB\cap BH = B\)， 所以 \(AE\perp\) 平面 \(PBE\)， 又 \(BE\subset\) 平面 \(PBE\)，所以 \(AE\perp BE\)（题眼）. 以 \(B\) 为坐标原点，分别以直线 \(BA,BC,BP\) 为 \(x\) 轴、\(y\) 轴、\(z\) 轴建立空间直角坐标系，如图 1， 则 \(B(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0)\). 设 \(E(x,y,0)\)，则 \(\overrightarrow{AE}=(x - 2,y,0),\overrightarrow{BE}=(x,y,0)\)， 因为 \(AE\perp BE\)，所以 \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE}=0\)， 所以 \((x - 2)\cdot x + y\cdot y = 0\)，即 \((x - 1)^2 + y^2 = 1\)（提示：将垂直关系转化为向量的数量积为 0，进而求动点的轨迹方程）. (5 分) 设 \(AB\) 的中点为 \(N\)，则 \(N(1,0)\)， 如图 2， 又 \(\angle ABE\in[\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{3}]\)， 所以 \(\angle ANE\in[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]\)（提示：圆心角与圆周角的关系）， 因此 \(E\) 的轨迹为圆弧 \(QE\)，其长度为 \((\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\times1=\frac{5\pi}{12}\). (7 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，\(\overrightarrow{PA}=(2,0,-2),\overrightarrow{AE}=(x - 2,y,0)\)， 设平面 \(PAE\) 的法向量为 \(\boldsymbol{n}=(a,b,c)\)， 则 \(\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PA}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\end{cases}\)，即 \(\begin{cases}2a - 2c = 0\\a(x - 2)+by = 0\end{cases}\)， 令 \(a = y\)，则 \(b = 2 - x,c = y,\boldsymbol{n}=(y,2 - x,y)\). (10 分) \(\overrightarrow{BC}=(0,2,0)\) 为平面 \(PAB\) 的一个法向量. 设二面角 \(E - PA - B\) 的平面角为 \(\theta\)， \(\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{|x - 2|}{\sqrt{(x - 2)^2 + 2y^2}}\)， 因为 \((x - 1)^2 + y^2 = 1\)， 所以 \(\cos\theta=\frac{|x - 2|}{\sqrt{4 - x^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)（题眼）， 解得 \(x = 2,y = 0\)（舍去）或 \(x = 1,y = \pm1\)， 则 \(E(1,1,0)\) 或 \(E(1,-1,0)\)， (13 分) 所以 \(V_{E - PCB}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times1=\frac{2}{3}\). (15 分)