《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10.函数$f(x)=2\sqrt{3}\sin\omega x\cos\omega x + 2\cos^{2}\omega x - 1(0\lt\omega\lt1)$的图象如图所示,则( )

A.$f(x)$的最小正周期为$2\pi$
B.$y = f(2x+\frac{\pi}{3})$是奇函数
C.$y = f(x+\frac{\pi}{6})\cos x$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{12}$对称
D.若$y = f(tx)(t\gt0)$在$[0,\pi]$上有且仅有两个零点,则$t\in[\frac{11}{6},\frac{17}{6})$

答案： ABC

11.已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$,记$g(x)=f'(x)$,且$f(x)-f(-x)=2x$,$g(x)+g(2 - x)=0$,则( )
A.$g(0)=1$
B.$y=\frac{f(x)}{x}$的图象关于点$(0,1)$对称
C.$f(x)+f(2 - x)=0$
D.$\sum_{k = 1}^{n}g(k)=\frac{n - n^{2}}{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$

答案： ABD

12.已知$\text{i}$是虚数单位,若复数$z$满足$(2 + \text{i})z=\text{i}$,则$\frac{z}{2 - \text{i}}=$_______.

答案： $\frac{1}{5}$

13.第40届潍坊国际风筝会期间,某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有_______种.(结果用数值表示)

答案： 120

14.已知平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}:y = 2x$,$l_{2}:y=-2x$,点$P$为平面内一动点,过$P$作$DP// l_{2}$交$l_{1}$于$D$,作$EP// l_{1}$交$l_{2}$于$E$,得到的平行四边形$ODPE$面积为1,记点$P$的轨迹为曲线$\Gamma$.若$\Gamma$与圆$x^{2}+y^{2}=t$有四个交点,则实数$t$的取值范围是_______.

答案：
$( \frac{4}{5},+\infty)$

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$,已知$a(\sin B+\cos B)=c$.
(Ⅰ)求$A$;
(Ⅱ)若$c=\sqrt{2}$,$a=\sqrt{5}$,$D$为$BC$的中点,求$AD$.

答案： 正弦定理+余弦定理+平面向量的线性运算与数量积运算 解：(Ⅰ)在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$\sin A(\sin B+\cos B)=\sin C$(题眼)(提示：利用正弦定理边化角)， 由$A + B + C=\pi$，得$\sin C=\sin(A + B)$， 所以$\sin A\sin B+\sin A\cos B=\sin A\cos B+\cos A\sin B$(方法：利用两角和的正弦公式展开)， 化简得$\sin A\sin B=\cos A\sin B$. 因为$B\in(0,\pi)$，所以$\sin B\neq0$，所以$\tan A = 1$. 因为$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{4}$.(6分) (Ⅱ)在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$5 = b^{2}+2 - 2b\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}$， 所以$b^{2}-2b - 3 = 0$. 又$b\gt0$，解得$b = 3$(题眼).(10分) 因为$D$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$(提示：向量加法的平行四边形法则)， 两边平方得，$|\overrightarrow{AD}|^{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+b^{2}+2bc\cos A)=\frac{17}{4}$， 所以$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{17}}{2}$， 即中线$AD$的长度为$\frac{\sqrt{17}}{2}$.(13分)