《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

10. 已知函数$f(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{3})(\omega＞0)$，则（ ）
A. 当$\omega=\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的周期为$4\pi$
B. 函数$f(x)$图象的对称轴是$x=\frac\pi{6\omega}+\frac{k\pi}\omega,k\in\mathbf{Z}$
C. 当$\omega=\frac{1}{2}$时，$x=\frac{5\pi}{3}$是函数$f(x)$的一个最大值点
D. 函数$f(x)$在区间$(0,1)$内不单调，则$\omega＞\frac{5\pi}{6}$

答案： ACD

11. 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811 - 1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用. 设$G$是一个非空集合，“$\circ$”是一个适用于$G$中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称$G$对“$\circ$”构成一个群：(1)封闭性，即若$a,b\in G$，则存在唯一确定的$c\in G$，使得$c = a\circ b$；(2)结合律成立，即对$G$中任意元素$a$，$b$，$c$都有$(a\circ b)\circ c = a\circ(b\circ c)$；(3)单位元存在，即存在$e\in G$，对任意$a\in G$，满足$a\circ e = e\circ a = a$，则$e$称为单位元；(4)逆元存在，即任意$a\in G$，存在$b\in G$，使得$a\circ b = b\circ a = e$，则称$a$与$b$互为逆元，$b$记作$a^{-1}$. 一般地，$a\circ b$可简记作$ab$，$a\circ a$可简记作$a^{2}$，$a^{2}\circ a$可简记作$a^{3}$，以此类推.
正八边形$ABCDEFGH$的中心为$O$. 以$e$表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以$r$表示以点$O$为中心，将正八边形逆时针旋转$\frac{\pi}{4}$的旋转变换；以$m$表示以$OA$所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换. 定义运算“$\circ$”表示复合变换，即$f\circ g$表示将正八边形先进行$g$变换再进行$f$变换的变换. 以形如$r^{p}m^{q}(p,q\in\mathbf{N}$，并规定$r^{0}=m^{0}=e)$的变换为元素，可组成集合$G$，则$G$对运算“$\circ$”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作$D_{8}$. 则以下关于$D_{8}$及其元素的说法中，正确的有 （ ）
A. $mr^{2}\in D_{8}$，且$mr^{2}=r^{2}m$
B. $r^{3}m$与$r^{5}m$互为逆元
C. $D_{8}$中有无穷多个元素
D. $D_{8}$中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身

答案： ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，若圆柱两个底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积是________.

答案：
 $8\pi$ $8\pi

13. 甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学中考语文、数学、外语的成绩如表：
| |甲|乙|丙|丁|戊|己|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|语文|108|110|115|110|118|107|
|数学|110|120|112|111|100|118|
|外语|110|100|112|114|110|113|
将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语. 现从这六位同学中选出三人分别担任语文、数学、外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有________种.

答案： 10

14. 已知$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$为抛物线$y^{2}=8x$上两个不同的动点，且满足$y_{1}y_{2}=-16$，则$|x_{1}+y_{1}+2|+|x_{2}+y_{2}+2|$的最小值为________.

答案： 6

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
$\triangle ABC$中角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，其面积为$S$，且$4S=b^{2}+c^{2}-a^{2}$.
（Ⅰ）求$A$；
（Ⅱ）已知$a = 2\sqrt{2}$，求$S$的取值范围.

答案：

15.正弦定理+余弦定理的推论+三角形面积公式+三角恒等

变换

解:(I)因为S= $\frac{1}{2}$ bcs in A, cos A= $\frac{b²+c²−a²}{2bc}$ , (2分)

代入4S=b²+c²−a²,得2 bcs in A=2 bc cos A, (3分)

所以 tan A=1, (4分)

又A∈((,,π),所以A=一 . (5分)

(III)解法一:因为A+B+C=π,

结合(I)知B+C= $\frac{3π}{4}$ . (6分)

因为a=2 $\sqrt{2}$ ,

所以由 $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{6}{sinB}$ " $\frac{C}{sinC}$ =4, (8分)

得S= $\frac{1}{2}$ bcs in A=4 $\sqrt{2}$ s in Bs in C

=4 $\sqrt{2}$ s in Bs in ( $\frac{3π}{4}$ −−B)

=4( s in Bc os B+ s in ²B)

=2( s in 2B− cos 2B+1)

=2 $\sqrt{2}$ s in (2B− $\frac{π}{4}$ { +2. (10分)

因为0<B< $\frac{3π}{4}$ ,所以一 $\frac{π}{4}$ <2B− $\frac{π}{4}$ < $\frac{5π}{4}$ , (11分)

所以一 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ < s in (2B− $\frac{π}{4}$ )≤1,

所以0<S≤2 $\sqrt{2}$ +2,

即S的取值范围是(02√2+2]. (13分)

s

解法二:由于 cos A= $\frac{b²+c²−a²}{2bc}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

∴ $\sqrt{2}$ bc=b²+c²−8≥2bc−8,

即(2− $\sqrt{2}$ )bc≤8,

∴ bc≤8+4 $\sqrt{2}$ ,当且仅当b=c时取等号，

∴ S= $\frac{1}{2}$ bcs in A= $\frac{1}{2}$ x $\frac{\sqrt{2}}{2}$ bc≤ $\frac{1}{2}$ × $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ×(8+4 $\sqrt{2}$ )=

2 $\sqrt{2}$ +2,

故<S<2√2+2. (13分)