《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

18. (17分)
在平面直角坐标系内，以原点$O$为圆心，$a$，$b(a＞0,b＞0,a,b$为定值$)$为半径分别作同心圆$C_{1}$，$C_{2}$，设$A$为圆$C_{1}$上任一点(不在$y$轴上)，作直线$OA$，过点$A$作圆$C_{1}$的切线$AA'$与$x$轴交于点$A'$，过圆$C_{2}$与$x$轴的交点$B$作圆$C_{2}$的切线$BB'$与直线$OA$交于点$B'$，过点$A'$，$B'$分别作$x$轴，$y$轴的垂线$A'M$，$B'M$交于点$M$.
(Ⅰ)求动点$M$的轨迹$E$的方程；
(Ⅱ)设$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，点$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，过点$F_{1}$的直线与轨迹$E$交于$A$，$B$两点(两点均在$y$轴左侧).
(ⅰ)若$\angle AF_{2}B=\frac{\pi}{2}$，$\triangle AF_{2}B$的内切圆的圆心的纵坐标为$\sqrt{3}a$，求$\frac{c}{a}$的值；
(ⅱ)若点$P$是曲线$E$上($y$轴左侧)的点，过点$O$作直线与曲线$E$在$P$处的切线平行，交$PF_{2}$于点$Q$，证明：$PQ$的长为定值.

答案： 直线与圆的位置关系+直线与圆锥曲线的综合应用 解：(Ⅰ)设$A(x_0,y_0)$，则$x_0^2 + y_0^2 = a^2$. （1 分）过点$A$的切线方程为$x_0x + y_0y = a^2$，所以$A'(\frac{a^2}{x_0},0)$，（2 分）由直线$OA:y = \frac{y_0}{x_0}x$和切线$BB':x = \pm b$，得$B'(\pm b,\pm\frac{y_0}{x_0}b)$（关键：由已知条件求出点$A'$，$B'$的坐标是解题关键）. （3 分）设$M(x,y)$，则$\begin{cases}x = \frac{a^2}{x_0}\\y = \pm\frac{y_0}{x_0}b\end{cases}$，即$\begin{cases}x_0 = \frac{a^2}{x}\\y_0 = \pm\frac{a^2y}{bx}\end{cases}$. （4 分）由$x_0^2 + y_0^2 = a^2$，得$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$即为所求$E$的方程. （5 分） (Ⅱ)设$\triangle AF_2B$内切圆圆心为$S$，点$G$，$H$，$J$分别为圆与$AF_2$，$BF_2$，$AB$的切点. (ⅰ)由(Ⅰ)可知，轨迹$E$是以$F_1$，$F_2$为焦点的双曲线，由双曲线定义可知$|AF_2| = |AF_1| + 2a$，$|BF_2| = |BF_1| + 2a$，且$|AF_1| + |BF_1| = |AB|$. （6 分）由$\angle AF_2B = \frac{\pi}{2}$，有$|AF_2| + |BF_2| - |AB| = 2r$（提示：直角三角形内切圆半径公式），$r$为内切圆$S$的半径（题眼）. （7 分）从而$|AF_2| + |BF_2| - |AB| = 2r = |AF_1| + 2a + |BF_1| + 2a - |AB|$，有$2r = 4a$. （8 分）又$|AF_2| - |AF_1| = 2a = r$，所以内切圆与$AB$边的切点与$F_1$重合，设内切圆圆心$S(s,\sqrt{3}a)$，有$|SF_1| = 2a$，$|SF_2| = 2\sqrt{2}a$. （9 分）联立有$\begin{cases}s + c = a\\c - s = \sqrt{5}a\end{cases}$，所以$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$. （10 分） (ⅱ)证明：设$P(x_0,y_0)$，过点$P$作$\angle F_1PF_2$的平分线，交$x$轴于点$T$，设$T(m,0)$，$|PF_1| = -a - \frac{c}{a}x_0$，$|PF_2| = a - \frac{c}{a}x_0$（提示：双曲线的焦半径公式），由角平分线定理得$\frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \frac{|TF_1|}{|TF_2|}$，即$\frac{-a - \frac{c}{a}x_0}{a - \frac{c}{a}x_0} = \frac{m + c}{c - m}$，解得$m = \frac{a^2}{x_0}$，（11 分）从而$k_{PT} = \frac{y_0}{x_0 - \frac{a^2}{x_0}} = \frac{x_0y_0}{x_0^2 - a^2} = \frac{x_0y_0}{\frac{a^2y_0^2}{b^2}} = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$. （12 分）设过点$P$的切线方程为$y - y_0 = k(x - x_0)$，与双曲线方程联立，解得$k = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$，所以切线即为$PT$，（13 分）延长$F_1P$至$R$，使得$|PR| = |PF_2|$，连接$RF_2$，则$RF_2\parallel PT$，设过坐标原点$O$且与$P$处切线平行的直线与$PF_1$交于点$W$，$|PW| = |PQ|$，由于$O$为$F_1F_2$中点，所以$W$为$RF_1$中点，又$|RW| = |QF_2|$，所以$|WF_1| = |QF_2|$，（15 分）从而$2a = |PF_2| - |PF_1| = |PR| - |PF_1| = |PR| - (|WF_1| - |PW|) = |PR| - |RW| + |PW| = |PW| + |PW| = 2|PQ|$，所以$|PQ| = a$，即$PQ$的长为定值. （17 分）

19. (17分)
设$(X,Y)$的所有可能取值为$(x_{i},y_{j})$，称$p_{ij}=P(X = x_{i},Y = y_{j})(i = 1,2,\cdots,n,j = 1,2,\cdots,m)$为二维离散随机变量$(X,Y)$的联合分布列，用表格表示为：

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义$P(Y = y_{j})=p_{·j}=\sum_{i = 1}^{n}p_{ij}$.对于固定的$j$，若$p_{·j}＞0$，则称$p_{i|j}=P(X = x_{i}|Y = y_{j})=\frac{p_{ij}}{p_{·j}}(i = 1,2,\cdots,n)$为给定$Y = y_{j}$条件下的$X$条件分布列.
离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下：$E(X|Y = y)=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}P(X = x_{i}|Y = y)$.
(Ⅰ)设二维离散随机变量$(X,Y)$的联合分布列为

求给定$X = 1$条件下的$Y$条件分布列；
(Ⅱ)设$(X,Y)$为二维离散随机变量，且$E(X)$存在，证明：$E(X)=\sum_{j = 1}^{m}E(X|Y = y_{j})\cdot p_{·j}$；
(Ⅲ)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处，假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.

答案：  离散型随机变量的分布列与数学期望 解：(Ⅰ)因为$P(X = 1) = p_{1\cdot} = 0.6$，所以用第一行各元素分别除以 0.6，可得给定$X = 1$条件下的$Y$条件分布列： | $Y|X = 1$ | 1 | 2 | 3 | | --- | --- | --- | --- | | $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | （5 分） (Ⅱ)证明：二维离散随机变量$(X,Y)$的概率为$P(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}(i = 1,2,\cdots,n,j = 1,2,\cdots,m)$，由$p_{ij} = p_{i|j}\cdot p_{\cdot j}$，得$E(X) = \sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot p_{i\cdot} = \sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot(\sum_{j = 1}^{m}p_{ij}) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}(x_i\cdot p_{ij}) = \sum_{j = 1}^{m}\sum_{i = 1}^{n}(x_i\cdot p_{ij})$（题眼），（7 分）则$E(X) = \sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot p_{i|j}\cdot p_{\cdot j}) = \sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}x_ip_{i|j})\cdot p_{\cdot j}$（关键：由题中所给定义得出$E(X)$的表达式是解题关键）. （9 分）由$\sum_{i = 1}^{n}x_ip_{i|j} = E(X|Y = y_j)$，有$E(X) = \sum_{j = 1}^{m}E(X|Y = y_j)\cdot p_{\cdot j}$. （11 分） (Ⅲ)由(Ⅱ)知，对于二维离散随机变量$(X,Y)$，$E(X) = \sum_{j = 1}^{m}E(X|Y = y_j)\cdot P(Y = y_j)$. 设他需要$X$分钟离开迷宫，记$Y$表示第一次所选的门，事件$\{Y = i\}$表示选第$i$个门（题眼），由题设有$P(Y = 1) = P(Y = 2) = P(Y = 3) = \frac{1}{3}$. （12 分）因为选第一个门后 30 分钟可离开迷宫，所以$E(X|Y = 1) = 30$. （13 分）又因为选第二个门后 50 分钟回到原处，所以$E(X|Y = 2) = 50 + E(X)$. （14 分）又因为选第三个门后 70 分钟也回到原处，所以$E(X|Y = 3) = 70 + E(X)$，（15 分）所以$E(X) = \frac{1}{3}\times(30 + 50 + E(X) + 70 + E(X)) = 50 + \frac{2}{3}E(X)$（提示：离散型随机变量的数学期望），（16 分）解得$E(X) = 150$. 即他平均要用 150 分钟才能走出迷宫. （17 分）