《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

17. (15分)
如图，已知抛物线$C:x^{2}=4y$，其上有定点$A(-2,1),B(6,9)$，动点$P$在抛物线上，且点$P$位于点$A,B$之间的曲线段上(不与点$A,B$重合)，过点$B$作直线$AP$的垂线，垂足为$Q$。
(Ⅰ)若$P$是$AQ$的中点，求点$P$的坐标。
(Ⅱ)求$|BQ|$的最大值。

答案： 17.直线与抛物线的位置关系+圆锥曲线中的最值问题
　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　天利设点P的坐标为(zo)$\frac{x²}{4}$)
　[思维导图](I)　　　　　　中点坐标公式
　{点Q的坐标向量垂直的坐标运算xo→得解.
　(II)当直线AP的斜率为0时|BQ|=8;
　1当直线AP的斜率存在且不为0直线AP,BQ的方程→交;点Q的横坐标xQ弦长公式|BQ|→|BQ|的取值范围|1验证得解.
解:(I)由点P在抛物线上,设点P的坐标为(zo,$\frac{x²}{4}$,
且−2＜x0＜6,　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)
因为P是AQ的中点，且点A的坐标为(−2,1)，
所以点Q的坐标为(2x。0+2,$\frac{x?}{2}$−1{,　　　　　　　(2分)
故AP=(xo+2,$\frac{x²}{4}$−1{,BQ=(2x0+2−6,$\frac{x²}{2}$−1−9{=
(2xo−4,$\frac{x?}{2}$−10).　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
因为AP⊥BQ,所以AP.BQ=0,
即(x0+2))(2x0−4)+($\frac{x?}{4}$−1)($\frac{x²}{2}$−10)=0(提示;利用向量垂直的坐标运算求解)，　　　　　　　　　　　　(5分)
整理得(x。+2)²(x。−2)²=0.　　　　　　　　　　(6分)
解得xo=2或x0=−2(舍)，
所以点P的坐标为(2，1).　　　　　　　　　　　　(7分)
(II[)当直线AP的斜率为0时，直线BQ的斜率不存在，此时点P的坐标为(2,1),点Q的坐标为(6,1),得|BQ|=8(易错:容易遗漏斜率不存在的情况);　　　　　　　　(8分)
当直线AP的斜率存在且不为0时，设直线AP的斜率为k(k≠0),
则直线BQ的斜率为一$\frac{1}{k}$,
则直线lAP:y−1=k(x+2),lQ:y−9=−$\frac{1}{k}$(x−6),(9分)
联立直线LAP，lBQ的方程得交点Q的横坐标rQ=
−2kk²²++81k+6,　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
所以|BQ|=|xQ−xB∣=|$\frac{−2k²+8k+6}{k²+1}$−6|=
　$\sqrt{1+\frac{1}{k²}}$|$\frac{−8k²+8k}{k²+1}$|=$\frac{8|k−1|}{\sqrt{k²+1}}$(k≠0)(方法:根据弦长公式表示|BQ|,化简并利用基本不等式求最值).　　　(12分)
因为$\frac{8|k−1|}{\sqrt{k²+1}}$=8　$\sqrt{\frac{k²−2k+1}{k²+1}}$=8/$\sqrt{\frac{2k}{k²+1}}$1−
　　　　　=8　$\sqrt{k2\frac{1}{k}}$1　　　　,k≠0,　　　　　　　(13分)
由k+$\frac{1}{k}$∈(−∞∞,−2]U[2,+∞),
得|BQ|=$\frac{8|k−1|}{\sqrt{k²+1}}$≤8$\sqrt{2}$,
当且仅当k+$\frac{1}{k}$=−2,即k=−1时等号成立.　　　(14分)
当k=−1时，点A与点P重合，与题设矛盾，故等号不成立，即|BQ|＜8$\sqrt{2}$,故BQ1无最大值.　　　　　　　　(15分)

18. (17分)
某单位进行招聘面试，已知参加面试的$N$名学生全都来自$A,B,C$三所学校，其中来自$A$校的学生人数为$n(n ＞ 1)$。该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码$k(k = 1,2,3,\cdots,N)$，按面试号码$k$由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场。
(Ⅰ)求面试号码为2的学生来自$A$校的概率。
(Ⅱ)若$N = 40,n = 10$，且$B,C$两所学校参加面试的学生人数比为$1:2$，求$A$校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试($A$校所有参加面试的学生完成面试后，$B,C$两校都还有学生未完成面试)的概率。
(Ⅲ)记随机变量$X$表示最后一名$A$校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名$A$校学生完成面试所用的时间)，$E(X)$是$X$的数学期望，证明:$E(X)=\frac{5n(N + 1)}{n + 1}$。

答案： 18.全概率公式+条件概率+随机变量的数学期望
　:[思维导图](I)记“面试号码为2的学生来自A校”为事;|件A组合数公式P(A).　　　　　　　　　　　　　　1 1
　|(II)B,C两校参加面试的学生人数记“最后面试的学生来！;自B校”为事件B,“最后面试的学生来自C校”为事件C,{:记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为！(事件D→P(BD),P(CD)全概率公式＞P(D).　　　　　1 ||(III)(III)X的所有可能取值为5n,5(n+1),.….,5NP(X=5k),1i1 |k=n,n+1,.….,N→数学期望E(X)→化简得证
　解:(I)记“面试号码为2的学生来自A校"为事件A，(1分)
　将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为CN，　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
　事件A表示A校有1名学生的面试号码为2,其他n−1名学生的面试号码在剩余N−1个面试号码中随机安排，则事件
A包含的样本点数为C1C，　　　　　　　　　　(3分)
　　　　　　　　　　(N−1)!
　故P(A)=$\frac{CC}{CN}$=$\frac{(n−1)!(N−n)!}{N!}$.　　　　(4分)
　　　　　　　　　　n!(N−n)!
　(说明:根据每名参加面试的学生在任意次序面试都等可能，直接写出概率$\frac{n}{N}$给2分)
　(II)设B校参加面试的学生有r名，
　由题意得$\frac{x}{40−10−x}$=$\frac{1}{2}$,解得x=10,
　所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
　记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，显然事件B,C互斥，记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则D=
BD+CD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)
　当事件B发生时，只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
　则P(BD)=P(B)P(D|B)=$\frac{10}{40}$×$\frac{20}{30}$=$\frac{1}{6}$.　天利8分)
　当事件C发生时,只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
　则P(CD)=P(C)P(D|C)=$\frac{20}{40}$×$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{4}$,　　　　　(9分)
　所以P(D)=P(BD)+P(CD)=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$−(提示;全概率公式).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
　(III)证明:由题知随机变量X的取值为5n,5(n+1),...,5N，(11分)
则随机变量X的取值概率P(X=5k)=$\frac{C=}{CN}$,k=n,
　n+1,.….,N,　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)
　所以随机变量X的期望E(X)=kM=n5k.$\frac{C=1}{C"}$(题眼)
　=　　MkC−　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)
　　$\frac{5}{CN}$k="
　=$\frac{5}{CN}$kM="k.$\frac{(k−1)！}{(n−1)!(k−n)!}$=$\frac{5}{CN}$kM=nn.$\frac{k!}{n!(k−n)!}$
　=$\frac{5n}{CN}$M馑　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)
　=$\frac{5n}{CN}$(C+C+1+C+2+...+C攵)
　=$\frac{5n}{CN}$(C+1+C+1+C+2+....+CN)
　=$\frac{5n}{CN}$C+　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16分)
　=$\frac{5n}{N!}$.$\frac{(N+1)!}{(n+1)!(N−n)!}$
　　n!(N−n)!
　=$\frac{5n(N+1)}{n+1}$,
　所以E(X)=$\frac{5n(N+.1)}{n+1}$.　　　　　　　　　　　　(17分)