《2025年高考模拟试题汇编高中数学》

16. (15分)
如图，四棱锥$S - ABCD$的底面为正方形，平面$SAD\perp$平面$ABCD$，点$E$在$SB$上，且$AE\perp BC$。
(Ⅰ)证明：$SA\perp$平面$ABCD$；
(Ⅱ)若$SA = AB = 2$，$F$为$BC$的中点，且$EF=\sqrt{3}$，求平面$AEF$与平面$SAD$夹角的余弦值。

答案：
(Ⅰ)因为底面$ABCD$是正方形，所以$AB\perp AD$，又平面$SAD\perp$平面$ABCD$，平面$SAD\cap$平面$ABCD = AD$，$AB\subset$平面$ABCD$，所以$AB\perp$平面$SAD$，则$AB\perp SA$。因为$BC// AD$，$AE\perp BC$，所以$AE\perp AD$，又$AB\cap AD = A$，$AB,AD\subset$平面$ABCD$，所以$AE\perp$平面$ABCD$。因为$SA$和$AE$都在平面$SAB$内，且过点$A$垂直于平面$ABCD$的直线是唯一的，所以$SA$与$AE$重合，即$SA\perp$平面$ABCD$。
(Ⅱ)以$A$为原点，分别以$AB,AD,AS$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系。则$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$S(0,0,2)$，$F(2,1,0)$。设$\overrightarrow{SE}=\lambda\overrightarrow{SB}$，$\overrightarrow{SB}=(2,0,-2)$，则$\overrightarrow{SE}=(2\lambda,0,-2\lambda)$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SE}=(0,0,2)+(2\lambda,0,-2\lambda)=(2\lambda,0,2 - 2\lambda)$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=(2,1,0)-(2\lambda,0,2 - 2\lambda)=(2 - 2\lambda,1,2\lambda - 2)$。因为$EF = \sqrt{3}$，所以$(2 - 2\lambda)^{2}+1+(2\lambda - 2)^{2}=3$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$或$\lambda=\frac{3}{2}$（舍去），则$\overrightarrow{AE}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{AF}=(2,1,0)$。设平面$AEF$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=x + z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AF}=2x + y = 0\end{cases}$，令$x = 1$，则$y=-2$，$z=-1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,-2,-1)$。平面$SAD$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(1,0,0)$。设平面$AEF$与平面$SAD$夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\vert\frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\boldsymbol{m}\vert}\vert=\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 1}\times1}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。

17. (15分)
人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：

(Ⅰ)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者。设这三人中性格外向型的人数为$X$，求$X$的数学期望；
(Ⅱ)对表格中的数据，依据$\alpha = 0.1$的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联。如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由。
附：参考公式：$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$。

答案： (Ⅰ)由表格可知，男生中性格外向型的概率为$\frac{30}{30 + 20}=\frac{3}{5}$，女生中性格外向型的概率为$\frac{20}{20 + 10}=\frac{2}{3}$。$X$的可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$。
$P(X = 0)=(1-\frac{3}{5})^{2}\times(1-\frac{2}{3})=\frac{4}{25}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{75}$；
$P(X = 1)=C_{2}^{1}\times\frac{3}{5}\times(1-\frac{3}{5})\times(1-\frac{2}{3})+(1-\frac{3}{5})^{2}\times\frac{2}{3}=2\times\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{3}+\frac{4}{25}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{25}+\frac{8}{75}=\frac{20}{75}$；
$P(X = 2)=C_{2}^{2}\times(\frac{3}{5})^{2}\times(1-\frac{2}{3})+C_{2}^{1}\times\frac{3}{5}\times(1-\frac{3}{5})\times\frac{2}{3}=\frac{9}{25}\times\frac{1}{3}+2\times\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{3}{25}+\frac{24}{75}=\frac{33}{75}$；
$P(X = 3)=(\frac{3}{5})^{2}\times\frac{2}{3}=\frac{18}{75}$。
所以$E(X)=0\times\frac{4}{75}+1\times\frac{20}{75}+2\times\frac{33}{75}+3\times\frac{18}{75}=\frac{20 + 66+54}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$。
(Ⅱ)设原表格中$a,b,c,d$分别为对应的数据，$n=a + b + c + d$，则$\chi_{1}^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$。将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍后，$n' = 10n$，$\chi_{2}^{2}=\frac{10n(10a\times10d - 10b\times10c)^{2}}{(10a + 10b)(10c + 10d)(10a + 10c)(10b + 10d)} = 10\times\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} = 10\chi_{1}^{2}$。因为依据$\alpha = 0.1$的独立性检验，原结论是两种性格特征与人的性别没有关联，即$\chi_{1}^{2}\lt2.706$，那么$\chi_{2}^{2}=10\chi_{1}^{2}$可能大于$2.706$，所以得到的结论不一致。