《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

3 [2024兰州中考]如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，BC = BD，延长BA至点E，使得∠ADE = ∠CBA.
(1)求证：ED是⊙O的切线.
(2)若BO = 4，tan∠CBA = $\frac{1}{2}$，求ED的长.

答案：
**证明**：如图，连接 $OD$，则 $OD = OB$，所以 $\angle ODB = \angle OBD$。因为 $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ADB = \angle ACB = 90^{\circ}$，所以 $\angle ODB+\angle ADO = 90^{\circ}$。因为 $AB = AB$，$BD = BC$，所以 $Rt\triangle ADB\cong Rt\triangle ACB$，所以 $\angle ABC = \angle ABD = \angle ODB$。因为 $\angle ADE = \angle CBA$，所以 $\angle ADE = \angle ODB$，所以 $\angle ADE+\angle ADO = 90^{\circ}$，即 $\angle ODE = 90^{\circ}$，所以 $OD\perp DE$。又因为 $OD$ 是 $\odot O$ 的半径，所以 $ED$ 是 $\odot O$ 的切线。
@@**解**：因为 $OB = 4$，所以 $AB = 2OB = 8$。由（1）知，$\angle ABD = \angle ABC$，所以 $\tan\angle ABD=\frac{AD}{BD}=\tan\angle CBA=\frac{1}{2}$。由（1）知，$\angle EDA = \angle ABD$，又因为 $\angle DEA = \angle BED$，所以 $\triangle EDA\sim\triangle EBD$，所以 $\frac{ED}{EB}=\frac{AE}{DE}=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，所以 $DE = 2AE$，$DE^{2}=AE\cdot BE$，所以 $(2AE)^{2}=AE\cdot(AE + AB)$，即 $4AE^{2}=AE^{2}+8AE$，解得 $AE = 0$（舍去）或 $AE=\frac{8}{3}$，所以 $ED = 2AE=\frac{16}{3}$。

4 [一题多解 [2024绥化中考]如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F.
(1)求证：AB与⊙O相切.
(2)若正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$ + 1，求⊙O的半径.
(3)如图2，在(2)的条件下，若M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交$\overset{\frown}{CE}$于点N.当CM:FM = 1:4时，求CN的长.

答案：
**证明**： - **证法一**：连接 $OE$，过点 $O$ 作 $OG\perp AB$ 于点 $G$，如图1。因为 $\odot O$ 与 $AD$ 相切于点 $E$，所以 $OE\perp AD$，所以 $\angle AEO = \angle AGO = 90^{\circ}$。因为四边形 $ABCD$ 是正方形，$AC$ 是其对角线，所以 $\angle BAC = \angle DAC = 45^{\circ}$，所以 $OE = OG$（角平分线的性质）。因为 $OE$ 为 $\odot O$ 的半径，所以 $OG$ 也为 $\odot O$ 的半径，又因为 $OG\perp AB$，所以 $AB$ 与 $\odot O$ 相切。 - **证法二**：过点 $O$ 作 $OG\perp AB$ 于点 $G$，连接 $OE$，如图1。因为 $AD$ 与 $\odot O$ 相切，$OE$ 为 $\odot O$ 的半径，所以 $OE\perp AE$，所以 $\angle AEO = 90^{\circ}$。因为 $OG\perp AB$，所以 $\angle AGO = 90^{\circ}$。又因为四边形 $ABCD$ 为正方形，所以 $\angle BAD = 90^{\circ}$，所以四边形 $AEOG$ 为矩形。又因为 $AC$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，所以 $\angle EAO = \angle GAO = 45^{\circ}$，所以 $OE = OG$。因为 $OE$ 为 $\odot O$ 的半径，所以 $OG$ 也为 $\odot O$ 的半径，又因为 $OG\perp AB$，所以 $AB$ 与 $\odot O$ 相切。@@**解**：因为 $AC$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，所以 $\angle DAC = 45^{\circ}$。因为 $\odot O$ 与 $AD$ 相切于点 $E$，所以 $\angle AEO = 90^{\circ}$。由（1）可知 $AE = OE$，设 $AE = OE = OC = OF = R$，在 $Rt\triangle AEO$ 中，$AO=\frac{EO}{\sin\angle DAC}=\frac{R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}R$。又因为正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{2}+1$，所以在 $Rt\triangle ADC$ 中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$。因为 $OA + OC = AC$，所以 $\sqrt{2}R+R=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$，所以 $R = \sqrt{2}$，即 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$。@@**解**： - **解法一**：连接 $ON$，如图2。设 $CM = k$，因为 $CM:FM = 1:4$，所以 $CF = 5k$，所以 $OC = ON = 2.5k$，所以 $OM = OC - CM = 1.5k$。在 $Rt\triangle OMN$ 中，由勾股定理得 $MN = 2k$，在 $Rt\triangle CMN$ 中，由勾股定理得 $CN=\sqrt{5}k$。又因为 $FC = 5k = 2R = 2\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，所以 $k=\frac{2\sqrt{2}}{5}$，所以 $CN=\sqrt{5}\times\frac{2\sqrt{2}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。 - **解法二**：连接 $FN$，如图2。因为 $CF$ 为 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle CNF = 90^{\circ}$，所以 $\angle FNM+\angle CNM = 90^{\circ}$。因为 $MN\perp AC$，所以 $\angle NFM+\angle FNM = 90^{\circ}$，所以 $\angle NFM = \angle CNM$。又因为 $\angle NCM = \angle FCN$，所以 $\triangle CNM\sim\triangle CFN$，所以 $\frac{CN}{CF}=\frac{CM}{CN}$，所以 $CN^{2}=CM\cdot CF$。因为 $CM:FM = 1:4$，所以 $CF = 5CM$，所以 $CN=\sqrt{5}CM$。因为 $CF = 2R = 2\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，所以 $CM=\frac{1}{5}CF=\frac{2\sqrt{2}}{5}$，所以 $CN=\sqrt{5}\times\frac{2\sqrt{2}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。