《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

1 [新考法 [2024 邯郸十三中模拟] 如图，将△ABC 折叠，使 AC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕 AD，将△ABC 再次折叠，使 BC 边落在 BA 边上，展开后得到折痕 BE，BE，AD 交于点 O. 则下列结论一定成立的是 （ ）
 

A. AO = 2OD
B. S_{△ABO}=S_{四边形 ODCE}
C. 点 O 到△ABC 三边的距离相等
D. 点 O 到△ABC 三个顶点的距离相等

答案：
C@@如图，过点O作OF⊥AB于点F，OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N。由题意，得∠BAD = ∠CAD，∠ABE = ∠CBE，
∴ O为△ABC两内角平分线的交点，
∴ OF = OM = ON，
∴ 点O到△ABC三边的距离相等。

2 如图为 5×5 的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，则点 O 是 （ ）
A. △ACD 的外心
B. △ABC 的外心
C. △ACD 的内心
D. △ABC 的内心

答案： B@@连接OA，OB，OC，OD，设网格中小正方形的边长为1，则OA = OB = OC = √(3² + 2²) = √13，OD = √(2² + 1²) = √5，
∴ 点O是△ABC的外心。

3 [2023 北京四月月考] 根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是 （ ）

答案： C@@根据三角形内角和定理可知，第三个内角为65°，所以三角形是等腰三角形，再根据三角形的内心是内角平分线的交点，可得选项C能用直尺成功找到三角形内心。

4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AI 平分∠BAC，O 是 AB 边上一点，以点 O 为圆心、OB 为半径的⊙O 切 AI 于点 I，交 AB 于 F，连接 BI.
（1）求证：I 是△ABC 的内心.
（2）连接 IF，若 IF = 2，求圆心 O 到 BI 的距离.

答案：
（1）**证明**：如图，延长AI交BC于点D，连接OI，
∵ ⊙O切AI于点I，
∴ OI⊥AI。
∵ AB = AC，AI平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，
∴ OI//BD，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ OB = OI，
∴ ∠3 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠3，即BI平分∠ABC。又
∵ AI平分∠BAC，
∴ I是△ABC的内心。（2）**解**：如图，过点O作OE⊥BI于点E，由垂径定理可知BE = IE。又
∵ OB = OF，
∴ OE是△FBI的中位线。
∵ IF = 2，
∴ OE = 1/2IF = 1，
∴ 圆心O到BI的距离是1。

5 [2024 北京大兴区期末] 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC = 124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为 （ ）
 

A. 56°
B. 62°
C. 68°
D. 78°

答案： C@@因为点I是△ABC的内心，所以∠B = 2∠AIC - 180° = 68°，所以∠ADC = 112°，所以∠CDE的度数为68°。

6 [一题多解 [2023 衡水二模] 如图，在△ABC 中，∠ACB = 80°，AC = BC，M 是 AB 上一点（不与点 A 重合），点 P 是△ACM 的内心，则∠MPC 的度数 （ ）
A. 等于 115°
B. 可以等于 80°
C. 等于 120°
D. 无法确定

答案： A@@- **通解**：
∵ ∠ACB = 80°，AC = BC，
∴ ∠B = ∠A = 50°。设∠BCM = x°，则∠MCA = 80° - x，∠AMC = 50° + x。
∵ 点P是△ACM的内心，
∴ CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，
∴ ∠MCP = ∠ACP = 1/2∠MCA = 1/2(80° - x)，∠CMP = ∠AMP = 1/2∠AMC = 1/2(50° + x)，
∴ ∠MPC = 180° - ∠MCP - ∠CMP = 180° - 1/2(80° - x) - 1/2(50° + x°) = 115°。- **优解**：
∵ ∠ACB = 80°，AC = BC，
∴ ∠B = ∠A = 50°。
∵ 点P是△ACM的内心，
∴ ∠MPC = 90° + 1/2∠A = 115°。